2017　南山大　人文学部2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　方程式${({\log }_{3}x)}^2-7{\log }_{3}x+12=0$を解くと$x=\boxed{\text{ア}}$であり，方程式${\log }_2(2x-1)={\log }_4(x+1)$を解くと$x=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}|x-5|\leqq 3\\ |x-1|\leqq a\end{array}$

が解をもつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，不等式$|x-5|\leqq 3$のすべての解が不等式$|x-1|\leqq b$を満たすような$b$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$つの正の整数$x$と$y$に対し，$2$つの不等式$x+y\geqq 5\text{，}x+y\leqq 6$を満たす$(x,y)$の組の個数は$\boxed{\text{オ}}$であり，$2$つの不等式$x+y\leqq 6\text{，}xy\geqq 6$を満たす$(x,y)$の組の個数は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(7,-1)\text{，}\mathrm{B}(4,8)$と原点$\mathrm{O}(0,0)$を頂点とする$▵\mathrm{OAB}$を考える．辺$\mathrm{OA}$の垂直$2$等分線の方程式は$y=\boxed{\text{キ}}$であり，$▵\mathrm{OAB}$の外心の座標を求めると$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　直線$l\text{：}y=-2$と曲線$C\text{：}y=x^2$を考える．$l$上の点$\mathrm{A}(k,-2)$から$C$へ引いた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{P}(a,a^2)\text{，}\mathrm{Q}(b,b^2)$とする．ただし，$a<b$とする．

(1)　$C$上の点$(t,t^2)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$a$と$b$をそれぞれ$k$で表せ．

(3)　${\mathrm{PQ}}^2$を$k$で表せ．

(4)　$\mathrm{PQ}=2\sqrt{15}$となるとき，$k$の値を求めよ．