2017　南山大　法，国際教養2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$i$を虚数単位とする．$x$の多項式$f(x)$を$x^2+1$で割った余りが$x+1$のとき，$f(i)$の値を計算すると$f(i)=\boxed{\text{ア}}$である．また，多項式$g(x)$について$g(i)=1-i\text{，}g(-i)=1+i$のとき，$g(x)$を$x^2+1$で割った余りは$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　関数$f(x)=(x+1)|x-1|$を考える．$f(x)\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$x$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，定数$a$に対し，方程式$f(x)=a$が異なる$3$つの実数解をもつ$a$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　関数$y=2{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+1$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=\boxed{\text{オ}}$である．$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$y$がとりうる値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$は半径$\sqrt{3}$の円に内接し，$\mathrm{AB}=2\text{，}\cos A=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$である．このとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めると$\mathrm{BC}=\boxed{\text{キ}}$であり，辺$\mathrm{CA}$の長さを求めると$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　実数$a\text{，}b$に対し，$1$次関数$f(x)=ax+b$が${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=0$と$f(0)>0$を満たすとする．

(1)　$a$を$b$で表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^{2}dx=1$のとき，$f(x)$を求めよ．

(3)　(2)の$f(x)$と実数$s\text{，}t$に対して$1$次関数$g(x)=sf(x)+t$が${\displaystyle {\int }_0^1}{\{g(x)\}}^{2}dx=1$を満たすとする．$s$と$t$の関係式を求めよ．

(4)　(3)のとき$p=g(1)$とおく．$p$の最大値とそのときの$s\text{，}t$の値を求めよ．