2017　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CA}=3$のとき，$\sin A=\boxed{\text{ア}}$である．また，この三角形の内接円の半径は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　循環小数$a=1.\stackrel{\cdot }{1}\stackrel{\cdot }{8}$を可能な限り約分した分数で表すと$a=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\sin \theta +\cos \theta =a$をみたす$\theta$に対して，${\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{1+\cos 2\theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$の値を求めると$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$3$次方程式$x^3=1$の異なる$3$つの解を$1\text{，}\alpha \text{，}\beta$とする．このとき，$\alpha +\beta$の値を求めると$\boxed{\text{オ}}$であり，${\displaystyle \frac{2}{{\alpha }^4}}+{\displaystyle \frac{2}{{\beta }^4}}$の値を求めると$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${\log }_{10}(x-3)+{\log }_{10}(x-1)=0$の解は$x=\boxed{\text{キ}}$である．また，${\log }_{\frac{1}{2}}{(x-1)}^2>{\log }_{\frac{1}{2}}{(x+1)}^3$をみたす$x$の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$a<0$とする．曲線$C_1\text{：}y=x^2+ax+1$と直線$l$は点$\mathrm{P}$で接している．また，曲線$C_2\text{：}y=x^3+1$と$l$も$\mathrm{P}$で接している．このとき，$a=\boxed{\text{ケ}}$であり，$l$の方程式は$y=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=x^2$と$2$本の直線$l_1\text{，}{l}_2$を考える．$l_1$と$l_2$は$C$上の点$\mathrm{P}(p,p^2)$で直交し，$l_1$の傾きは$-2$である．$\mathrm{P}$以外で，$C$と$l_1$が交わる点を$\mathrm{A}\text{，}C$と$l_2$が交わる点を$\mathrm{B}$とする．ただし，$p>{\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

(1)　$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を，それぞれ$p$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}$の長さを，それぞれ$p$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{APB}$の面積を$S_1\text{，}C$と$l_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=6:1$となるような$p$の値を求めよ．