2017 同志社大 理系学部2月4日実施MathJax

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2017 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系

全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(1) 関数 f (x )= ecos t に対して, f ( t) f( t) = である.次に,座標平面上の曲線 C ( logx )2 +( logy )2 =1 とし, C 上の点 P の座標を ( a,b ) とする. P C 上の点全体を動くとき, a の最小値と最大値はそれぞれ であり, a2 +b2 の最小値は である.また, P における C の接線の傾きが 0 となるのは a = のときである.

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全学部日程2月4日実施

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【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(2) 袋に 1 から 7 までの異なる番号をつけた 7 個の玉が入っている.袋から玉を 1 個取り出し,玉の番号を調べて玉を袋に戻す.この試行を 3 回繰り返したとき, 1 回目の玉の番号を a 2 回目の玉の番号を b 3 回目の玉の番号を c とする. a<b< c となる確率は である. a×b ×c の値が偶数となる確率は 343 である. a+b+ c の値が奇数となる確率は 343 である. 2 以上 6 以下の自然数 k に対して, a+b =k かつ c 7-k となる確率は (7- k) 343 ( ) であるので, a+b+ c7 となる確率は である.

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【2】  f( x)= 11x- 92 x2 とする.原点を O とする座標平面上に曲線 C1 y=f (x ) と,直線 l1 y=x がある.次の問いに答えよ.

(1)  l1 上の点 A ( a,a ) を通り l 1 に垂直な直線 l 2 が, C1 上の点 B ( b,f (b ) ) C 1 に接している. a b の値をそれぞれ求めよ.

(2) (1)で求めた a b の値を用いて,実数 t 0 <t< 2a を満たすとし,曲線 C2 y=f (x ) 0x b とする.第 1 象限にある l 1 上の点 P OP =t であるとき, P を通り l 1 に垂直な直線と C 2 の交点を Q とする. Q x 座標を t を用いて表せ.

(3) (1)で定まる l 2 と(2)で定めた C 2 に対して, l1 l2 C2 で囲まれた部分を l 1 のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

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全学部日程2月4日実施

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【3】 座標平面上の円 C1 x2+ y2- 6x+ 4y+ 12=0 とし,円 C2 x2+ y2+ 2x- 2y- 2=0 とする.点 A の座標を ( 1,-2 ) とし,点 P C 1 上に,点 Q C 2 上にあるとする.また,

f= |AP + AQ |2 - |AP | 2- | AQ |2

とする.次の問いに答えよ.

(1)  P の座標を ( 3,-1 ) とする. Q C 2 上の点全体を動くとき, f が最大となるときの Q の座標を求めよ.

(2)  P の座標が ( 3,-1 ) のとき,直線 AP を考える. C2 上の点 R における C 2 の接線は直線 AQ と垂直になるという.このときの R の座標をすべて求めよ.

(3)  P を定めたとき, Q C 2 上の点全体を動くときの f の最大値を m とする. P C 1 上の点全体を動くとき, m=0 となるような P の座標をすべて求めよ.

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【4】 次の条件によって定められる数列をそれぞれ { an } { bn } {c n } とする.

a1 =1 a 2=1 an +2= 4a n+1 -an n=1 2 3

b1 =1 b 2=2 bn +2= 4b n+1 -bn n=1 2 3

c1 =1 c 2=1 cn +2= cn+1 ( cn+ 1+1 )c n n= 1 2 3

 次の問いに答えよ.

(1)  a3 b3 a4 b3 a4 b4 の値を求めよ.

(2) 次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.

an bn +1 =an +1 bn+ 1 n=1 2 3

an+ 2 bn= an+ 1 bn+ 1+1 n=1 2 3

(3)  n 3 以上の自然数のとき, cn は整数であることを示せ.

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