2017　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　数列$\{a_n\}$を$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}-a_n=3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定めると，一般項は$a_n=\boxed{\text{ア}}$である．このとき，$a_n$が$7$の倍数となるときの$n$の最小値を$d$とすると$d=\boxed{\text{イ}}$であり，$n=7k+d\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$に対して，$a_n$は$7$の倍数になる．この数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$100$項までの項をすべて掛け合わせた数$N=a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{100}$に対して，$N$を素因数分解したとき，素因数$7$の個数は$\boxed{\text{ウ}}$個であり，素因数$5$の個数は$\boxed{\text{エ}}$個である．また，$N$を$3$で割ったあまりは$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$n$は$3$以上の整数とし，円周を$n$等分する点を${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$とする．これらの点の中から異なる$3$点を選び，それらを結んで作られる三角形を考える．$3$点の選び方は全部で$\boxed{\text{カ}}$通りある．また，このような三角形の中で，$n$が偶数のとき，直角三角形となる点の選び方は$\boxed{\text{キ}}$通りあり，鈍角三角形となる点の選び方は$\boxed{\text{ク}}$通りある．さらに，$n$が奇数のとき，鈍角三角形となる点の選び方は$\boxed{\text{ケ}}$通りあり，鋭角三角形となる点の選び方は$\boxed{\text{コ}}$通りある．

【２】　$a>0$に対して，関数$f(x)=x^3-ax+a\text{，}g(x)={(x+a)}^3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$2$個となるための$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとき，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

(4)　$a$が(2)で求めた範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{S(a)}{a}}$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　実数$p\text{，}$$q$は$0<p<1\text{，}$$0<q<1$を満たすとする．四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$q:1-q$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$また，辺$\mathrm{BC}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{PL}$と線分$\mathrm{QM}$が共有点$\mathrm{D}$を持つように辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{M}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=b\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=c$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$p\text{，}$$q\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{R}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{N}$をとる．$3$点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{N}$が一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$p\text{，}$$q\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0\text{，}$$p+q=1$のとき，四角形$\mathrm{PQLM}$の面積$S(p)$を$p\text{，}$$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$S(p)$の最小値とそのときの$p$の値を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いてそれぞれ表せ．