2017　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a={\displaystyle \frac{{\log }_{2017}9}{{\log }_{2017}4}}$のとき$2^{3a}$値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　実数$x\text{，}y$が$2x+y=1\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$を満たすとき$x^2{y}^2+4x^2+y^2+5xy$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　整数係数の$3$次式$x^3+a{x}^2+bx+c$が$x+\sqrt{3}$と$x-2$で割り切れるとき，整数$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(t)\}}^{3}dx$を満たす$1$次式$f(x)$をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　整数の数列$\{a_n\}$を$a_n=2017\cdot 5^{2n}+3\cdot 2^{3n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義する．$a_n$を$17$で割ったあまりを$b_n$とする．整数の数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　関数$f(\theta )=2\cos 3\theta +2\sin 3\theta -3\sin 2\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x=\cos \theta -\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$とするとき，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\theta )$を$x$で表わした関数を$g(x)$とする．$g(x)$を求めよ．

(3)　$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　$xy$平面における曲線$y=g(x)$のグラフの概形を描け．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$O$と，点$\mathrm{O}\prime$を中心とする半径$3$の円$O\prime$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わり，さらに，点$\mathrm{A}$における円$O$の接線と点$\mathrm{A}$における円$O\prime$の接線が垂直であるとする．また，円$O$の内部にある円$O\prime$の周上に点$\mathrm{P}$を取り，直線$\mathrm{OP}$が円$O\prime$と交わる点で$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OO}\prime \text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ求めよ．

(2)　$k$の取り得る値の範囲を求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OO}\prime }$を$k$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{OP}$の長さと内積$\overrightarrow{\mathrm{O}\prime \mathrm{P}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\prime \mathrm{Q}}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(5)　点$\mathrm{P}$が円$O$の内部にある円$O\prime$の周上を動くとき，$▵\mathrm{O}\prime \mathrm{PQ}$の面積が最大となるときの$k$の値とその最大値を求めよ．