2017　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

(1)　$k$は実数の定数とする．

方程式$|x^2+2x-3|=k+4\cdots \text{①}$

について，$k=1$のとき，方程式$\text{①}$の解は$x=\boxed{\text{ア}}$である．また，方程式$\text{①}$が異なる$3$個の負の解をもつとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．ただし，重解は$1$個と考える．

　次に，方程式$\text{①}$が異なる$4$個の実数解をもつとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．このとき，$4$個の実数解を，小さい順に${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3\text{，}{\alpha }_4$とするとき，${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4=\boxed{\text{エ}}$である．また，${\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3{\alpha }_4=5$であるとき，$k$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

(2)　図のような三角形$\mathrm{OAB}$について，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{OB}$の比が$2:1$であり，点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BH}$としたとき，点$\mathrm{H}$は辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分している．また，辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(a)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{カ}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2$となる．

(b)　直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{OA}$の交点が辺$\mathrm{OA}$を$5:1$に内分しているとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる．

(c)　直線$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，三角形$\mathrm{OAE}$が$\angle \mathrm{OEA}=90\mathrm{°}$の直角三角形になっているとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる．

【１】

(3)　$n$本（$1\leqq n\leqq 14$）の当たりくじが入っている$15$本のくじがある．このくじの中から$1$本ずつ$2$回続けて引く．ただし，$1$回目に引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(a)　$2$回ともはずれる確率は$\boxed{\text{サ}}$である．

(b)　$2$回ともはずれる確率が${\displaystyle \frac{3}{7}}$であるとき，$n=\boxed{\text{シ}}$である．

(c)　$2$解ともはずれる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以上であるような$n$の最大値は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　$\mathrm{A}$社は，社会貢献として以下のような奨学金の設立を計画している．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　設立時からちょうど$1$年後に第$1$回目の奨学金給付をする場合を考える．第$1$回目に奨学金$X$万円を給付するためには，設立時の基金として少なくとも$\boxed{\text{ア}}$万円が必要である．$1$年後に加えて$2$年後にも奨学金$X$万円を給付するためには，設立時の基金として少なくとも$\boxed{\text{イ}}$万円が必要である．

(2)　設立時に，第$1$回目の奨学金を給付する場合を考える．

(a)　合計で$10$回の給付をする場合，設立時の基金として少なくとも$\boxed{\text{ウ}}$万円が必要である．

(b)　設立時の基金を$Y$万円とする．第$n$回目の給付後の基金残額を$a_n$万円とすると，$a_n$と$a_{n+1}$の間には，$a_{n+1}=(\boxed{\text{エ}})\times a_n-\boxed{\text{オ}}$という関係が成り立つ．また，$a_1=\boxed{\text{カ}}$であるから，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{キ}}$と表される．

　第$n$回目の給付をもって残金を残さずに奨学金の給付を終わりにする場合，設立時の基金として，$Y=\boxed{\text{ク}}$万円を用意する必要がある．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0\cdots \text{①}$の解の$1$つが$-1+\sqrt{2}i$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b\text{，}c$を$a$を用いて表せ．

(2)　方程式$\text{①}$の実数解を$a$を用いて表せ．

(3)　方程式$\text{①}$の実数解が，方程式$x^2+bx-b-1=0$の解でもあるとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．

(4)　$a$を(3)で求めた値とする．方程式$\text{①}$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4$の値を求めよ．