2017　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$a>0$とする．$2$次不等式$x^2+(2-a)x-2a<0$を解くと，$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$となり，$2$次不等式$x^2+2(a-1)x-4a>0$を解くと，$x<\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}<x$となる．

　この$2$つの$2$次不等式の解が共通範囲を持たないような$a$の値の範囲は，$\boxed{\text{オ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{カ}}$となる．

【１】

(2)　$▵\mathrm{OAB}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{OB}=3$であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\mathrm{OA}=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ケ}}$である．また，$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{コ}}$となる．

　次に，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{15}$の円周上を点$\mathrm{P}$が動くとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積の最大値は$\boxed{\text{サ}}$である．

【１】

(3)　関数$f(x)=x^3-2x^2-5x+6$について，方程式$f(x)=0$の解は，$x=\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}$である．ただし，$\boxed{\text{シ}}<\boxed{\text{ス}}<\boxed{\text{セ}}$とする．

　このとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　図のような$▵\mathrm{ABC}$の形をした土地があり，その土地開発を次のように計画している．

　辺$\mathrm{AB}$を$\alpha :(1-\alpha )$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$\beta :(1-\beta )$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$を$\gamma :(1-\gamma )$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．図のように，$▵\mathrm{ABC}$の中心部に全体の$25\mathrm{\%}$の面積を占める$▵\mathrm{PQR}$の庭園と，その庭園を囲むように，商業施設建設のための$3$つの三角形の土地をつくる．ただし，$\alpha +\beta +\gamma =1\text{，}0<\alpha <\beta <\gamma <1$を満たすようにする．

　$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{BPQ}\text{，}▵\mathrm{CRQ}\text{，}▵\mathrm{APR}$の面積をそれぞれ$S\text{，}{S}_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とすると，${\displaystyle \frac{S_1}{S}}=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\displaystyle \frac{S_2}{S}}=\boxed{\text{イ}}\text{，}{\displaystyle \frac{S_3}{S}}=\boxed{\text{ウ}}$である．このとき，各三角形の面積の関係により，$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\boxed{\text{エ}}$が成立する．

　$\alpha \beta \gamma =k$とおくと，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は，方程式$x^3-\boxed{\text{オ}}{x}^2+\boxed{\text{カ}}x-k=0$の実数解であるので，$k$のとりうる範囲は，$0<k<\boxed{\text{キ}}$である．このとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は，$0<\alpha <\boxed{\text{ク}}<\beta <\boxed{\text{ケ}}<\gamma <\boxed{\text{コ}}$を満たしている．

【３】　自然数$n$の正の約数のうち，$2$番目に大きいものを$⟪n⟫$と表す．ただし，$2\leqq n\leqq 100$とする．たとえば，$⟪5⟫=1\text{，}⟪9⟫=3$である．

　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=2}^8}⟪k⟫$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=2}^{20}}⟪3k⟫$を求めよ．

(3)　$⟪n⟫=7$を満たす$n$をすべて求めよ．

(4)　$⟪n^2⟫=n$ならば，$⟪n⟫=1$であることを証明せよ．