2017　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

$I(p,q)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^p{(1-x)}^{q}dx$

(1)　$I(p,0)=\boxed{\text{ア}}$である．$q>0$のとき，$I(p,q)$に対し，部分積分法を$1$回用いると

$I(p,q)=\boxed{\text{イ}}I(p+1,\boxed{\text{ウ}})$

を得る．この関係式より，$m\text{，}n$を自然数とすると

$I(m,n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{(m+n+1)!}}$

が得られる．

（注：$\boxed{\text{エ}}$には，$I$を用いない$m\text{，}n$の式を入れよ．）

(2)　$3$次関数$y=f(x)$のグラフが，$x$軸と$2$つの共有点$(\alpha ,0)\text{，}(\beta ,0)\text{（}\alpha <\beta \text{，}\alpha \beta \ne 0\text{）}$をもち，$x=\beta$で$x$軸に接するとする．この$3$次関数$f(x)$について，$f(0)=2\alpha {\beta }^2$であるとき，$f(x)$の最高次の係数は$\boxed{\text{オ}}$である．このとき，この$3$次関数のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を$I(1,2)$を用いて表すと

$S=\boxed{\text{カ}}I(1,2)$

となる．特に$S={\displaystyle \frac{3}{8}}$のとき，$\beta -\alpha =\boxed{\text{キ}}$である．

（注：$\boxed{\text{カ}}$には，積分記号を含まない$\alpha \text{，}\beta$の式を入れよ．$\boxed{\text{キ}}$には，数を入れよ．）

(3)　最高次の係数が$1$である$6$次関数$y=g(x)$について，方程式$g(x)=0$が$x=\alpha$のとき$2$重解，$x=\beta$のとき$4$重解をもつとする．ただし，$\alpha <\beta$とする．このとき，曲線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

$(1+\sin \theta )x-(\cos \theta )y=\cos \theta$

で表される直線を$l_{\theta }$とする．$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，直線$l_{\theta }$は$x$軸と点$\mathrm{P}(\boxed{\text{ケ}},0)$で交わり，$y$軸と点$\mathrm{Q}(0,\boxed{\text{コ}})$で交わる．また，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，直線$l_{\theta }$は$y$軸と一致する．

　一方，$\theta$を媒介変数とする点$\mathrm{R}(\boxed{\text{サ}},\sin \theta )$は，直線$l_{\theta }$上に存在する．

　点$(-1,0)$と点$(1,0)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$が存在する$\theta$の範囲は$\boxed{\text{シ}}$である．また，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$と書くとき，$\sin \theta \text{，}\cos \theta$は$t$を用いて

$\sin \theta =\boxed{\text{ス}}\text{，}\cos \theta =\boxed{\text{セ}}$

と表せる．

　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$を満たす実数$\alpha$に対して，$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$から$\alpha$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_{\alpha }$とする．ただし，$\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，点$\mathrm{R}$の座標は$(0,-1)$と定める．曲線$C_{\alpha }$と直線$l_{\alpha }$で囲まれた図形の面積を$S(\alpha )$とする．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$S(\alpha )=\boxed{\text{ソ}}$である．$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で，$\alpha =\cos \alpha$を満たす$\alpha$を$\beta$とする．このとき，$S(\beta )=\boxed{\text{タ}}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$のとき，$S(\alpha )=\boxed{\text{チ}}$である．(1)の$\beta$に対して，$S(\pi -\beta )=\boxed{\text{ツ}}$である．

(3)　曲線$C_{\alpha }$の長さの半分が$S(\alpha )$に一致するとき，$\alpha =\boxed{\text{テ}}$である．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面$\mathrm{ABC}$と原点を通る直線$l$が交わる点を$\mathrm{P}$とする．直線$l$が点$(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},1)$を通るとき，点$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}},\boxed{\text{ニ}})$

となる．

　$0\leqq a\leqq 1$である実数$a$を用いて，線分$\mathrm{AB}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{M}$としたとき，$\mathrm{M}$の座標は

$(\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ノ}})$

と表せる．このとき，線分$\mathrm{MP}$の長さの$2$乗を$a$を用いて表すと，

${\mathrm{MP}}^2=2{(a-\boxed{\text{ハ}})}^2+\boxed{\text{ヒ}}$

となる．よって，線分$\mathrm{MP}$の長さを最小にする$a$の値は$\boxed{\text{ハ}}$となる．

（注：$\boxed{\text{ハ}}\text{，}\boxed{\text{ヒ}}$には，数を入れよ．）

(2)　点$\mathrm{P}$を通る$z$軸に平行な直線と$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$の定める平面$\mathrm{ABD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．(1)で定めた線分$\mathrm{MP}$の長さを最小にする$a$の値を用いるとき，線分$\mathrm{MQ}$の長さは$\boxed{\text{フ}}$となるので，$\angle \mathrm{PMQ}$を$\theta$としたとき，$\cos \theta =\boxed{\text{ヘ}}$となる．よって，$▵\mathrm{PMQ}$の面積は$\boxed{\text{ホ}}$となる．

　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{Q}$の定める平面$\mathrm{PMQ}$へ点$\mathrm{C}$から垂線を下ろす．垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{CH}$の長さは$\boxed{\text{マ}}$となる．よって，四面体$\mathrm{CPMQ}$の体積は$\boxed{\text{ミ}}$となる．

(1)　$\mathrm{A}$さんが$10$点の中から$1$点を選ぶとき，$\mathrm{B}$さんによる横軸の評価が$2$以上である確率は$\boxed{\text{ム}}$である．また，横軸と縦軸の評価の積が$18$以上になる確率は$\boxed{\text{メ}}$である．

(2)　(1)と同様に，$\mathrm{A}$さんが$10$点の中から$\mathrm{1}$点を選ぶ試行を$2$回繰り返すとき，その$2$点が同じ点である確率は$\boxed{\text{モ}}$である．また，その$2$点を結ぶ辺の数の最小値が$2$以上である確率は$\boxed{\text{ヤ}}$である．ただし，図３において，$2$点を結ぶ辺の数の最小値の例を挙げる．

　次に，$1$点目の縦軸の評価と$2$点目の横軸の評価の積が$18$以上になる確率は$\boxed{\text{ユ}}$になる．また，$2$点目の横軸の評価が$2$以上であることがわかったときに，$1$点目の縦軸の評価と$2$点目の横軸の評価の積が$18$以上になる確率は$\boxed{\text{ヨ}}$である．

(3)　最後に，$\mathrm{A}$さんが$10$点の中から$1$点を選ぶ試行を$10$回繰り返すとき，選んだ全ての点が異なる点である確率は$\boxed{\text{ラ}}$である．

（注：$\boxed{\text{ム}}\text{〜}\boxed{\text{ヨ}}$は，既約分数で答えよ．）