2017　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)　点$(x,y)$が，円$x^2+y^2=1$の周と内部を動くとき，点$(x+y,x-y)$が動く範囲の面積を求める．

　まず，$p=x+y\text{，}q=x-y$とおき，$x\text{，}y$を$p$と$q$を用いて表すと，$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$となる．

　次に，点$(x,y)$が，円$x^2+y^2=1$の周と内部を動くという条件を，$p$と$q$を用いて表すと，$p^2+q^2\leqq \boxed{\text{ウ}}$となる．よって，点$(x+y,x-y)$が動く範囲の面積は$\boxed{\text{エ}}$となる．

【１】

(2)　関数$y=4^x+2^x+{\displaystyle \frac{1}{2^x}}+{\displaystyle \frac{1}{4^x}}$について，$t=2^x+2^{-z}$とおくとき，$y$を$t$を用いて表すと，$y=\boxed{\text{オ}}$となる．

　ここで，$t$のとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}\leqq t$となるので，$y$は，$x=\boxed{\text{キ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ク}}$をとる．

【１】

(3)　$1$つのさいころを$4$回投げるとき，出る目の数を順に，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(a)　$a_1<a_2<a_3<a_4$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

(b)　$a_1+a_2+a_3+a_4=7$となる確率は$\boxed{\text{サ}}$である．

(c)　出る目の数の最大値が$4$となる確率は$\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　預金の金利や株式の配当などに関する次の問いに答えよ．ただし，$\boxed{\text{エ}}$を覗いてすべて整数で答えよ．解答には末尾の表の数値を用いてよい．

(1)　銀行預金の年利率を$2\mathrm{\%}$とする．$\mathrm{A}$さんが今日$500$万円を預金し，その後一切預金を行わなかった場合に，$10$年後に得られる総預金額を複利計算から求めてみる．$1$年後の総預金額は今日の預金額と得られる利子の合計になるので，$\boxed{\text{ア}}$万円となる．この計算を繰り返すことで$10$年後の総預金額を求めると，$\boxed{\text{イ}}$万円となる．

(2)　銀行預金の年利率を$2\mathrm{\%}$とする．$\mathrm{A}$さんが今日預金をして$5$年後に$220$万円を得るために，今日いくら預金すればよいか考えてみる．$5$年後に$220$万円を得るために必要な$4$年後の総預金額を$X$とすると，$(1.02)X=220$であるから，$X={\displaystyle \frac{220}{1.02}}$となる．この計算を繰り返すことで，今日預金すべき金額は$\boxed{\text{ウ}}$万円となることがわかる．このように，将来のある金額を現在の価値（金額）で表わしたものを割引現在価値と呼ぶ．

(3)　銀行預金の年利率を$2\mathrm{\%}$とする．割引現在価値の考え方を利用して株式の価値を求める．

　ある企業の株式を購入した人（株主）は，購入した$1$年後から将来にわたって，株式$1$単位あたり毎年$10$万円の配当を得られるとする．企業の株式を$1$単位持っていると，$1$年後に得られる配当の割引現在価値は${\displaystyle \frac{10}{1.02}}$万円，$2$年後に得られる配当の割引現在価値は${\displaystyle \frac{10}{1.04}}$万円である．同様に考えると，$10$年後に得られる配当の割引現在価値は$\boxed{\text{エ}}$万円である．

　したがって，購入してから$10$年後まで毎年配当が得られるとしたとき，この株式$1$単位の割引現在価値は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$万円となる．

【３】　$xy$平面上において，放物線$C_1\text{：}y=x^2+1$と放物線$C_2\text{：}y=-x^2+ax+b$が点$\mathrm{P}$で接している．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a\text{，}b$を$p$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}$接点$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積を求めよ．ただし，$p\ne 0$とする．

(4)　$p$の値にかかわらず，放物線$C_2$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積は一定であることを示せ．