2017　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$\theta$についての方程式${\sin }^3\theta -\cos \theta {\sin }^2\theta -\cos \theta \sin \theta -\cos \theta =1\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$は，

$(\sin \theta -\boxed{\text{ア}}-1)({\sin }^2\theta +\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}})=0$

と変形できるので，解を求めると，$\theta =\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ウ}}$に入る項はそれぞれ$1$つとし，$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

【１】

(2)　実数$x\text{，}y$が不等式$x^2+y^2\leqq 4$を満たすとき，$Z=2x+3y$の最大値は$\boxed{\text{カ}}$であり，そのときの$x$の値は$\boxed{\text{キ}}\text{，}y$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．

　また，$W=3x^2+y$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【１】

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=4$とする．$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，$r=\boxed{\text{サ}}$であり，外接円の半径を$R$とすると，$R=\boxed{\text{シ}}$となる．

　また，内心と外心の距離は$\boxed{\text{ス}}$であり，内心と垂心の距離は$\boxed{\text{セ}}$となる．

　この内心，外心，垂心の$3$点を頂点とする三角形の面積は，$\boxed{\text{ソ}}$となる．

【２】　曲線$C\text{：}y=x^3+x^2-2x$と直線$L\text{：}y=px+q$について，次の問いに答えよ．ただし，$p\text{，}q$は実数とする．

(1)　$p=1\text{，}q=-1$のとき，曲線$C$と直線$L$の共有点は$3$個存在し，その$x$座標の値は$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．

(2)　$q=0$のとき，

(a)　曲線$C$と直線$L$が接する場合，$p$の値は$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$となる．ただし，$\boxed{\text{エ}}<\boxed{\text{オ}}$とする．

(b)　曲線$C$と直線$L$の共有点が$1$個しか存在しないための条件は，$p$を用いて表すと，$\boxed{\text{カ}}$となる．

(3)　$p=-1$のとき，

(a)　曲線$C$と直線$L$が接する場合，$q$の値は$\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}$となる．ただし，$\boxed{\text{キ}}>\boxed{\text{ク}}$とする．

(b)　$q$の値が$\boxed{\text{キ}}$の場合，曲線$C$と直線$L$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ケ}}$となる．

(c)　$q$の値が$\boxed{\text{ク}}$の場合，曲線$C$と直線$L$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{コ}}$となる．

【３】　座標空間において，$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,-1,3)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

　線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とすると，点$\mathrm{D}$の座標は，$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$となる．

　次に線分$\mathrm{CD}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{E}$とすると，点$\mathrm{E}$の座標は，$s$を用いて$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$と表される．

　さらに，線分$\mathrm{OE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{F}$とすると，直線$\mathrm{AF}$が$▵\mathrm{OBC}$と垂直に交わるのは，$s=\boxed{\text{キ}}\text{，}t=\boxed{\text{ク}}$のときである．

　このとき，直線$\mathrm{AF}$と$▵\mathrm{OBC}$の交点$\mathrm{P}$の座標は，$(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}})$となる．

　ここで，$\sin \angle \mathrm{BOC}$の値は$\boxed{\text{シ}}$であるので，$▵\mathrm{OBC}$の面積は$\boxed{\text{ス}}$となる．

　また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{セ}}$となる．

【４】　$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$君がグラウンドにいる．そのグラウンドには右図のような正方形$\mathrm{ABCD}$が描かれている．$\mathrm{Y}$君の手元には$1$から$7$までの数字が$1$つずつ描かれた$7$枚のカードの入っている箱がある．

　ここで次のような試行を考える．

　$\mathrm{Y}$君は，この箱の中から無作為にカードを$1$枚取り出し，$\mathrm{X}$君にカードに描かれた数字を伝える．$\mathrm{X}$君はその数字にしたがって以下の規則で行動する．その後，$\mathrm{Y}$君は，取り出したカードをもとの箱に戻す．

＜規則＞

・数字が$1$のとき，移動しない．

・数字が$2\text{，}3$のとき，時計回りに隣の頂点に移動する．（例　$A⟶\mathrm{D}$）

・数字が$4\text{，}5$のとき，反時計回りに隣の頂点に移動する．（例　$\mathrm{A}⟶\mathrm{B}$）

・数字が$6$のとき，時計回りに辺に沿って対角線上の頂点に移動する．（例　$\mathrm{A}⟶\mathrm{D}⟶\mathrm{C}$）

・数字が$7$のとき，反時計回りに辺に沿って対角線上の頂点に移動する．（例　$\mathrm{A}⟶\mathrm{B}⟶\mathrm{C}$）

　最初$\mathrm{X}$君は頂点$\mathrm{A}$にいる．この試行を$n$回繰り返した後，$\mathrm{X}$君が頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$P_n$とする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$P_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{P}_2=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　この試行を$2$回行った後，$\mathrm{X}$君が頂点$\mathrm{B}$にいる確率は$\boxed{\text{ウ}}$であり，頂点$\mathrm{C}$にいる確率は$\boxed{\text{エ}}$である．したがって，$P_3=\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表すと，関係式$P_{n+1}=\boxed{\text{カ}}$が成り立つ．

　したがって，$P_n=\boxed{\text{キ}}{(-{\displaystyle \frac{1}{7}})}^n+\boxed{\text{ク}}$である．