2017　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円周上を反時計回りに動き，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円周上を反時計回りに動く．時刻$t=0$のとき，点$\mathrm{P}$は$(2,0)$にあり，点$\mathrm{Q}$は$(3,0)$にある．時刻$t$のとき，線分$\mathrm{OP}$は，$x$軸の正の部分を始線とした角$t$の動径とする．また，時刻$t$のとき，線分$\mathrm{PQ}$は，点$\mathrm{P}$を始点とし動径$\mathrm{OP}$を延長した半直線を始線とした角$t$の動径とする．ただし，$0\leqq t\leqq \pi$とする．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

(2)　時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における点$\mathrm{Q}$の速度ベクトルは$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})\text{，}$速さは$\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標は，$t=\boxed{\text{カ}}$のとき最小値$\boxed{\text{キ}}$となる．

(4)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$\boxed{\text{ク}}$である．

(5)　点$\mathrm{Q}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　$a\text{，}b\text{，}k$は$0$ではない実数とし，$i$は虚数単位とする．複素数からなる数列$\{z_n\}$を次の漸化式で定める．

$z_1=a+bi\text{，}{z}_n=(k+2i)z_{n-1}+2\overline{z_{n-1}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　数列$\{z_n\}$の一般項を次の手順で求める．まず，$z_n=x_n+y_{n}i$とおく．ただし，$x_n\text{，}{y}_n$は実数である．このとき数列$\{z_n\}$の漸化式から，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$に関する漸化式

$\{\begin{array}{l}{x}_n=(\boxed{\text{コ}})x_{n-1}-\boxed{\text{サ}}{y}_{n-1}\\ y_n=\boxed{\text{シ}}{x}_{n-1}+(\boxed{\text{ス}})y_{n-1}\end{array}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を得る．これより$x_n-y_n=\boxed{\text{セ}}$を得る．したがって，数列$\{x_n\}$は漸化式

$x_n=\boxed{\text{ソ}}{x}_{n-1}+\boxed{\text{タ}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．これより，数列$\{x_n\}$の一般項は

$x_n=\boxed{\text{チ}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

と求まり，数列$\{y_n\}$の一般項も

$y_n=\boxed{\text{ツ}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

と求まる．

（注：$\boxed{\text{セ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{ツ}}$は，$a\text{，}b\text{，}k\text{，}n$を用いて表せ．$\boxed{\text{ソ}}$は$k$を用いて表せ．）

　次に，$z_n$の実部$x_n$と虚部$y_n$との比を調べる．

(1)　$a=b$のとき，${\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}=\boxed{\text{テ}}$である．また，$a<0$かつ$k>0$のとき，$\arg z_n=\boxed{\text{ト}}$である．ただし，$z_n$の偏角$\arg z_n$は$0\leqq \arg z_n<2\pi$とする．

(2)　$a\ne b$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}=\boxed{\text{ナ}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$8$点${\mathrm{A}}_1(1,1,1)\text{，}{\mathrm{A}}_2(1,-1,1)\text{，}{\mathrm{A}}_3(-1,-1,1)\text{，}{\mathrm{A}}_4(-1,1,1)\text{，}{\mathrm{B}}_1(1,1,-1)\text{，}{\mathrm{B}}_2(1,-1,-1)\text{，}{\mathrm{B}}_3(-1,-1,-1)\text{，}{\mathrm{B}}_4(-1,1,-1)$を頂点とする立方体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4‐{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$がある．また，正の定数$a\text{，}b\text{，}c$に対し，原点を通りベクトル$(a,b,c)$に垂直な平面を$H$とする．

(1)　点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1$を通る直線と平面$H$との共有点の$z$座標は$\boxed{\text{ニ}}$であり，点${\mathrm{A}}_4\text{，}{\mathrm{B}}_4$を通る直線と平面$H$との共有点の$z$座標は$\boxed{\text{ヌ}}$である．これより，$4$つの線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4{\mathrm{B}}_4$の全てと平面$H$が共有点を持つための$a\text{，}b\text{，}c$が満たすべき必要十分条件は$\boxed{\text{ネ}}$かつ$\boxed{\text{ノ}}$である．$a\text{，}b\text{，}c$が$\boxed{\text{ネ}}$かつ$\boxed{\text{ノ}}$を満たすとき，立方体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4‐{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$の平面$H$による切り口の面積は$\boxed{\text{ハ}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$である．

（注：$\boxed{\text{ネ}}\text{，}\boxed{\text{ノ}}$には，$a\text{，}b\text{，}c$の関係式を入れよ．）

(2)　線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$と平面$H$が共有点を持たず，線分${\mathrm{A}}_4{\mathrm{B}}_4$と平面$H$が共有点を持つための$a\text{，}b\text{，}c$が満たすべき必要十分条件は$\boxed{\text{ヒ}}$かつ$\boxed{\text{フ}}$である．$a\text{，}b\text{，}c$が$\boxed{\text{ヒ}}$かつ$\boxed{\text{フ}}$を満たすとき，線分${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$と平面$H\text{，}$線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$と平面$H$はそれぞれ共有点を持つ．これらをそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とすると，点$\mathrm{P}$の$y$座標は$\boxed{\text{ヘ}}$であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\boxed{\text{ホ}}$である．点${\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_3$を通る直線と平面$H$との共有点を$\mathrm{R}$とすると，$▵\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{マ}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$である．よって，立方体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4‐{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$の平面$H$による切り口の面積は$\boxed{\text{ミ}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$となる．

（注：$\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\boxed{\text{フ}}$には，$a\text{，}b\text{，}c$の関係式を入れよ．）

【４】　点$\mathrm{P}$が数直線上の原点から出発して，$1$ステップごとに，正の方向もしくは負の方向に$1$だけ動くとする．点$\mathrm{P}$が$i$ステップ後に $j$の位置にあることを$(i,j)$と表す．ただし，$0$ステップで点$\mathrm{P}$が原点の位置にあることを$(0,0)$と表す．このとき，ちょうど$3$ステップで$(0,0)$から$(3,1)$にたどり着く経路は$3$通りである．その一例を図に実線で示す．また，それら$3$通りの経路の中で少なくとも$1$回は$j=2$の位置を通っているものは$1$通りである．

(1)　ちょうど$7$ステップで$(0,0)$から$(7,1)$にたどり着く経路を考える．$(0,0)$から$(7,1)$にたどり着く経路は$\boxed{\text{ム}}$通りである．その経路の中で少なくとも$1$回は$j=2$の位置を通るものを考える．この中で最後に$j=2$の位置を通るのがちょうど$2$ステップ後である経路は$\boxed{\text{メ}}$通りである．同様に，最後に$j=2$の位置を通るのがちょうど$4$ステップ後である経路は$\boxed{\text{モ}}$通りである．また，最後に$j=2$の位置を通るのがちょうど$6$ステップ後である経路は$\boxed{\text{ヤ}}$通りである．したがって$(0,0)$から$(7,1)$にたどり着く経路の中で，少なくとも$1$回は$j=2$の位置を通っているものは$\boxed{\text{ユ}}$通りである．

(2)　ちょうど$9$ステップで$(0,0)$から$(9,1)$にたどり着く経路を考える．$(0,0)$から$(9,1)$にたどり着く経路は$\boxed{\text{ヨ}}$通りであり，その中で少なくとも$1$回は$j=2$の位置を通っているものは$\boxed{\text{ラ}}$通りである．また，$(0,0)$から$(9,1)$にたどり着く経路で，$j=-2$の位置を少なくとも$1$回は通りかつ，$j=2$の位置を$1$回も通っていないものは$\boxed{\text{リ}}$通りである．したがって，$j=2$または$j=-2$の位置を少なくとも$1$回は通っているものは$\boxed{\text{ル}}$通りである．