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2017-14991-0101
2017 関西大学 文・経済・社会・政策創造学部
2月1日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の をうめよ.
(1) x+y= 4 ,x 2+y 2=6 のとき, x⁢y= ① , x3 +y3 = ② である.
(2) 3 次方程式
x3+ 3⁢x2 -4⁢ x-2= 0 ⋯ (*)
の 3 つの解を α , β ,γ とすると,(*)の左辺は,
x3+ 3⁢x2 -4⁢x -2=( x-α) ⁢(x -β)⁢ (x- γ)
と因数分解できる.よって,
α+β +γ= ③ , α⁢β +β⁢γ +γ⁢α = ④ ,α ⁢β⁢γ = ⑤
である.したがって,
1 α-1 + 1 β-1 + 1γ- 1= ⑥
である.
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【2】 空間の点 D ( x-1, -x+2, x+1 ) から, 3 点 A ( 0,0,1 ), B (1 ,2,- 1) ,C (- 4,1, 0) で定まる平面に垂線を下ろし,交点を H とする.次の をうめよ.
(1) AB→ = ① , AC→ = ② であり, AB→ と AC → の内積は AB →⋅ AC→ = ③ である.
(2) AH→ =s⁢ AB→ +t⁢AC → とおくと, DH→ は AB→ , AC→ の両方に垂直であることから, s と t は x を用いて s =t= ④ と表される.
(3) 点 H が ▵ ABC の重心に一致するとき x = ⑤ であり,このとき四面体 ABCD の体積は ⑥ である.
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【3】 実数 α , β に対して,
∫ αβ (x- α)⁢ (x- β)⁢ dx=- (β- α) 36
が成立する.次の問いに答えよ.
(1) p>0 とする. 2 つの放物線 y =1 2⁢ x 2+ 1p ⁢ x- 12 および y =- 12⁢ x2 +p⁢x + 12 で囲まれた図形の面積 S を, p を用いた式で表せ.
(2) (1)において, S を最小にする p の値およびそのときの S の値を求めよ.