2017 関西大 理系学部2月2日実施

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2017 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部2月2日実施

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易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=x - 1x について,次の問いに答えよ.

(1)  limx +0 f (x ) を求めよ.

(2)  f( x) の第 1 次導関数 f ( x) 2 次導関数 f ′′ (x ) を求め, y=f (x ) のグラフの概形をかけ.ただし,曲線 y =f( x) の漸近線もかくこと.

(3)  a>1 とする. 2 つの直線 y =0 y= a- 1a と曲線 y =f( x) でかこまれた図形の面積を S (a ) とする. S( a) a を用いて表せ.

(4)  lima 1+ 0 S( a) a-1 を求めよ.

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【2】  次の   をうめよ.

  xy 平面の x 軸上に点 ( a0, 0) がある.ただし 0 <a0 <1 とする.原点 O ( 0,0 ) ( a0, 0) 2 :1 に内分する点と点 ( 1,0 ) との中点を P1 ( a1, 0) とする.次に原点と P1 ( a1, 0) 2 :1 に内分する点と ( 1,0 ) との中点を P2 ( a2, 0) とする.さらに同様の操作を続けて点 Pn -1 (a n-1 ,0 ) を定める.

  a1 a 0 で表すと である.同様に,原点と点 Pn -1 ( an-1 ,0 ) 2 :1 に内分する点と点 ( 1,0 ) との中点を Pn ( an, 0) とする.このとき a n a n-1 は,次の漸化式

an= an- 1+

を満たす.ここで n に無関係な数である.この漸化式より a n a 1 n で表すと, an = である.

  a0 = のときは, Pn n に無関係な定点である. a0 のとき, n を大きくしていくと, Pn は点 Q ( ,0 ) に限りなく近く.また

n= 1 P nQ = 13

となるのは a0= のときである.

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【3】  n 2 以上の自然数とし, z=cos π n+i sin π n とする.ただし, i=- 1 は虚数単位である.次の問いに答えよ.

(1)  zn w =(z -1) ( zn-1 +z n-2 ++ z+1 ) のそれぞれの値を求めよ.

(2) 等式 k=1 n-1 sin k πn = sin πn an を満たす実数 a n cos πn を用いて表せ.

(3) 極限 limn n 2a n を求めよ.

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【4】 次の   をうめよ.

(1) 座標空間上の 3 O ( 0,0, 0) A ( 1,1, 1) B ( -2,1 ,-1 ) の定める平面上に点 P ( 2,y, 3) があるとき, y の値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  |sin 3θ |+ |sin θ|= cos3 θ+cos θ sin θcos θ 0θ< 2π を満たす θ の値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(3)  k 1 k6 を満たす整数とする. 8 で割ると k 余り, 9 で割ると k +2 余る数で, 2017 をこえない最大の整数は +k である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  ( 45 ) n< 1 1010 となる最小の自然数 n である.ただし, log10 2= 0.3010 とする.

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【4】 次の   をうめよ.

(5) 媒介変数表示 x =3 cosθ y= 2tan θ で表された曲線上の点 ( 6,2 3) における接線の方程式は y = x - である.