2017　関西大　文系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+n^2+2n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$に対して$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$は，漸化式

$b_{n+1}=3b_n+2n+3$

を満たし，$b_1=\boxed{\text{①}}$である．また，$c_n=b_{n+1}-b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$は漸化式

$c_{n+1}=3c_n+\boxed{\text{②}}$

を満たし，$c_1=\boxed{\text{③}}$である．したがって，$\{c_n\}$の一般項は$c_n=\boxed{\text{④}}\text{，}\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{⑤}}\text{，}\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{⑥}}$である．

【２】　$r$は正の定数とする．$xy$平面において，次の等式で定まる$2$つの円$C_1$と$C_2$を考える．

$C_1\text{：}{x}^2+y^2=4\text{，}{C}_2\text{：}{x}^2-6rx+y^2-8ry+16r^2=0$

　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$は$r$を用いて，それ以外の$\boxed{}$は数値で答えよ．

(1)　$C_2$の中心の座標は$(x,y)=\boxed{\text{①}}\text{，}$半径は$\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$C_1$と$C_2$が接するときの$r$は$2$つある．これらを求めると$r=\boxed{\text{③}}\text{，}\boxed{\text{④}}$である．ただし，$\boxed{\text{③}}<\boxed{\text{④}}$とする．

(3)　$2$つの円の半径が等しいとき，$r=\boxed{\text{⑤}}$である．このとき，$C_1$と$C_2$は$2$つの交点を持つが，これらの交点を通る直線の方程式は$y=\boxed{\text{⑥}}x+\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　定数$b$に対して，$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=-2x^2+b$を考える．$C_1$上の点$(t,-2t^2+b)$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$f(x)=2-2\left|x\right|$とするとき，$y=f(x)$と(1)における$C_1$が$2$点$(s,-2s^2+b)\text{，}(-s,-2s^2+b)$で接するとき，$s$と$b$の値を求めよ．ただし，$s>0$とする．

(3)　$g(x)=|2-2|x\left|\right|$とし，定数$a$に対して曲線$C_2\text{：}y=a{x}^2+2$を考える．$a>0$のとき，$C_2$と$y=g(x)$が点$(0,2)$以外にちょうど$2$点を共有するような$a$の値を求めよ．