2017　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{〜}\boxed{\text{③}}$は$\tan \alpha$および$\tan \beta$を用いた式で，$\boxed{\text{④}}$は$\alpha \text{，}\beta$を用いた式でうめ，$\boxed{\text{⑤}}\text{，}\boxed{\text{⑥}}$は既約分数でうめよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$を$\angle \mathrm{B}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{C}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{BC}=1$の直角三角三角形とし，$0\mathrm{°}<\beta <\alpha$を満たす$\beta$に対して，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{DBC}=\beta$となるようにとる．また，$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ垂線$\mathrm{DE}$を下ろし，直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{①}}\text{，}$$\mathrm{CF}=\boxed{\text{②}}$である．さらに，$▵\mathrm{DEA}$と$▵\mathrm{BEF}$が相似であるから，$\mathrm{DE}:\mathrm{BE}=(\boxed{\text{①}}):(\boxed{\text{③}})$である．よって，$\tan (\boxed{\text{④}})={\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BE}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{\boxed{\text{③}}}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{〜}\boxed{\text{③}}$は$\tan \alpha$および$\tan \beta$を用いた式で，$\boxed{\text{④}}$は$\alpha \text{，}\beta$を用いた式でうめ，$\boxed{\text{⑤}}\text{，}\boxed{\text{⑥}}$は既約分数でうめよ．

(2)　$\tan \gamma ={\displaystyle \frac{1}{5}}$のとき，

$\tan 2\gamma =\boxed{\text{⑤}}\text{，}$$\tan 4\gamma =\boxed{\text{⑥}}$

である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$2$進法で${11}_{(2)}$と表される数を$10$進法で表すと$\boxed{\text{①}}$であり，${110}_{(2)}$と表される数を$10$進法で表すと$\boxed{\text{②}}$である．一般に，$n$を非負の整数とし，$2$進法で表したとき$11$のあとに$0$が$n$個続く数${11\stackrel{\stackrel{n\text{個}}{⏞}}{00\cdots 0}}_{(2)}$は$10$進法で

${\boxed{\text{③}}}^n\times \boxed{\text{④}}$

のように素因数分解される自然数になる．この自然数を$a_n$とおく．

　$a_n$の正の約数は全部で$\boxed{\text{⑤}}$個ある．また，$n=106$のとき，$a_n$は$10$進法で$\boxed{\text{⑥}}$桁の自然数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【３】　$xy$平面上に次の不等式で定められた$2$つの領域$D$と$E$がある．

$D\text{：}{x}^2+y^2\leqq r^2\text{，}E\text{：}\{\begin{array}{l}2x-y+1\geqq 0\\ 2x+y-5\leqq 0\\ 2x-3y-7\leqq 0\end{array}$

ただし，$r>0$である．

(1)　領域$E$を解答欄の座標平面上に図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$E$内を動くとき，$3x+2y$の最大値を求めよ．

(3)　領域$E$が領域$D$に含まれないような$r$の値のうちで最小となる$r$の値を求めよ．