2017 関西大 理系学部2月5日実施

Mathematics

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2017 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】  e を自然対数の底とし,関数 f (x )=( x-1) e- x がある.また, y=f (x ) のグラフを C とし, C 上の点で y 座標が最大となる点を A 変曲点を B とする.次の問いに答えよ.

(1)  f( x) の導関数 f ( x) f ( x) の導関数 f ′′( x) を求め, f( x) の増減と凹凸を表に示せ.

(2)  2 A B を通る直線の方程式を求めよ.

(3) 点 B における C の接線の方程式を求めよ.

(4) (3)の接線と C および直線 x =2 で囲まれる図形の面積を求めよ.

2017 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に OA =2 OB =2 3 AOB=90 ° OAB があり, OA =a OB =b とする.また,点 M を辺 AB の中点とし,点 P を直線 OA 上に,点 Q を直線 OB 上に, PMQ= 90 ° を満たすようにとる.次の   をうめよ.ただし, は数値でうめよ.

(1)  p q を実数とする. OP =p a とするとき, MP p a b を用いて MP= と表される.また, OQ =q b とするとき, MQ q a b を用いて MQ= と表される.

(2) (1)のとき, p q には関係式 =2 が成り立つ.また, 0p 1 のとき, q のとり得る値の範囲は である.

(3) 点 P を辺 OA の中点とする.直線 OM に関して,点 P と対称な点を P とすると, OP a b を用いて OP = と表される.また,線分 OM 上に点 R をとる.線分 AR と線分 PR の長さの和が最小となるとき, OR = OM である.このとき, PQR の面積は である.

2017 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

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易□ 並□ 難□

【3】 複素数平面上に 3 A ( α) B ( β) P (t ) がある.ただし, i は虚数単位であり, α=2 +3i β =1+5 i である.また, t は実数である.次の   をうめよ.

(1)  2 A B 間の距離は である.

(2)  r>0 0 θ<2 π とする. αβ =r (cos θ+i sinθ ) と表したとき, r= θ = である.よって,点 C ( αn βn ) が実軸にあるような最小の正の整数 n n = である.

(3)  t<0 とする. O (0 ) を原点とし, AOB= APB が成り立つような t の値は t= である.

(4) 点 A を中心とし,点 B を反時計回りに θ だけ回転した点を D (γ ) とする. γ の実部を a 虚部を b とすると, a b sin θ cos θ を用いて, a= b= と表される.

2017 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(1)  K A L S E R S 7 文字を横一列に並べる.

(ⅰ) 「 KAISERS 」や「 RASKIES 」のように A I E がこの順に並ぶのは全部で 通りある.

(ⅱ) 「 KIRSEAS 」や「 SAISERK 」のように 2 つの S の間に A I E のうち,ちょうど 2 文字が並ぶのは全部で 通りある.

2017 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(2)  0θ π のとき,方程式 3 cos2 θ- 4sin θ-1= 0 を満たす sin θ の値は sin θ= であり,この方程式のすべての解の和は である.

2017 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(3) 双曲線 C x2 -y2 =1 の焦点の座標は である.また,長軸の長さと単軸の長さの比が 2:1 であり,焦点が C の焦点と一致するような楕円の方程式は =1 である.