2017　関西大　全学部日程文系学部2月7日実施MathJax

(1)　$s^2+t^2$の値を求めよ．

(2)　$s$および$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$s=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \theta$の値を求めよ．

　空間内に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする四面体がある．$▵\mathrm{ABC}$の各辺の長さが，それぞれ$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CA}=4$となっている．また，$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{①}}$である．一方，定義より，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$を満たすから$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{②}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{③}}$である．これらのことから，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{④}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{⑤}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表される．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{④}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{⑤}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表される．

　$3$次式$f(x)=x(x-1)(x-2)$に対して，関数$g(x)={\log }_{27}f(x)$を$0<x<1$の範囲で定義する．このとき

$f\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)=\boxed{\text{①}}\text{，}g\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}+\boxed{\text{②}}{\log }_{3}2-{\log }_{3}5$

である．定義域を実数全体とする関数$f(x)$は，$x=\boxed{\text{③}}$のとき極大値をとり，$x=\boxed{\text{④}}$のとき極小値をとる．$g(x)$の$0<x<1$における最大値を$M$とすると，$M=\boxed{\text{⑤}}{\log }_{3}2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，$M>g\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)$である．$3$つの実数$\sqrt{6}\text{，}{3}^{\frac{5}{6}}\text{，}{\displaystyle \frac{5}{2}}$のうち最も大きな数は$\boxed{\text{⑥}}$である．