2017　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

(1)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$の式で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$を満たす$t$の値をすべて求めよ．

(3)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対応する曲線$C$上の点における接線の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$x^{2n}+y^{2n}={(x+y)}^{2n}+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{(xy)}^k{(x+y)}^{2(n-k)}\cdots$(＊)

を満たすものが存在する．ただし，${(x+y)}^0=1$とする．同様に，$n$ごとに定まる整数$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_n$で，

$x^{2n+1}+y^{2n+1}={(x+y)}^{2n+1}+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k{(xy)}^k{(x+y)}^{2(n-k)+1}\cdots$(＊＊)

を満たすものが存在する．次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{④}}\text{，}\boxed{\text{⑥}}\text{，}\boxed{\text{⑦}}$には$n$の式で，他の$\boxed{}$は数値でうめること．

(1)　$n=1$のとき，$x^2+y^2={(x+y)}^2+a_{1}xy$なので，$a_1=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$n=2$のとき，$x^4+y^4={(x+y)}^4+a_{1}xy{(x+y)}^2+a_2{x}^2{y}^2$なので，$a_1=\boxed{\text{②}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{③}}$である．

(3)　(＊)の式に$x=-y=1$を代入して$a_n=\boxed{\text{④}}$を得る．

(4)　$n=1$のとき，$b_1=\boxed{\text{⑤}}$である．

(5)　$x^{2n+1}+y^{2n+1}=(x+y)A$と因数分解できる．$A$に$x=-y=1$を代入した値は$\boxed{\text{⑥}}$である．よって(＊＊)において，$b_n=\boxed{\text{⑦}}$である．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(2)　$0<x$において，$f(x)<0$となる$x$の範囲を求めよ．

(3)　$0<x<1$において，$-{\displaystyle \frac{1}{x}}<\log x<x$を示せ．

(4)　$0<a<e^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$とするとき，直線$x=a$と曲線$y=f(x)\text{（}x\geqq a\text{）}$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．このとき$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)$を求めよ．

$({\log }_{2}x-1)({\log }_{2}x+2)({\log }_{2}x-3)({\log }_{2}x+4)\leqq 144$

を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{④}}$である．