2017　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$p\text{，}q$を$0$でない実数の定数とし，$2$次方程式$2x^2+px+2q=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とする．このとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$を$p\text{，}q$で表すと$\boxed{\text{ア}}$となる．さらに，$2$次方程式$x^2+qx+p=0$の$2$つの解が$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$であるとき，$p=\boxed{\text{イ}}\text{，}q=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$4$人でジャンケンをするとき，$1$人が勝つ確率は$\boxed{\text{エ}}$であり，$2$人が勝つ確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，$3$人が勝つ確率は$\boxed{\text{エ}}$である．よって，あいこになる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$\sin 2x$を$\sin x$と$\cos x$の式で表すと$\boxed{\text{キ}}$となり，$\sin 3x$を$\sin x$の式で表すと$\boxed{\text{ク}}$となる．また$0<x<\pi$とするとき，方程式$\sin 3x=2\sin x$の解は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,3)$を考える．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の大きさは$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\boxed{\text{ア}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{イ}}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．三角形$\mathrm{OAB}$の内接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{オ}}$である．四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の中心を$\mathrm{P}\text{，}$半径を$r$とするとき，四面体$\mathrm{PABC}$の体積を$r$を用いて表すと$\boxed{\text{カ}}$である．$r$の値は$r=\boxed{\text{キ}}$であり，点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ク}}$となる．

(3)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で$x$成分が$1$のベクトルは，$\boxed{\text{ケ}}$である．点$\mathrm{P}$を通り平面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線が$xy$平面と交わる点の座標は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|e^x-1|dx$と定める．$x=0\text{，}-1\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$における$f(x)$の値はそれぞれ

$f(0)=\boxed{\text{ア}}\text{，}f(-1)=\boxed{\text{イ}}\text{，}f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=\boxed{\text{ウ}}$

である．また，$-1\leqq x\leqq 0$のとき，$f(x)$を$x$の式で表すと，$f(x)=\boxed{\text{エ}}$となる．$-1<x<0$のとき，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{オ}}$だから，$-1<x<0$において$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値は$x=\boxed{\text{カ}}$である．$-1\leqq x\leqq 0$において，$f(x)$は$x=\boxed{\text{キ}}$のとき最大値$\boxed{\text{ク}}$をとり，$x=\boxed{\text{ケ}}$のとき最小値$\boxed{\text{コ}}$をとる．

【４】　$c\text{，}p$は定数とする．漸化式

$a_1=p\text{，}{a}_{n+1}=4a_n+p^n+9\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$に対して，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{4^{n-1}}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_{n+1}-b_n$を$n\text{，}p$の式で表せ．

(2)　$c=-2\text{，}p=4$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$p=3$のとき，$a_n$を$n$と$c$の式で表せ．

(4)　$p=3$のとき，数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_n}{3^{n-1}}}\right\}$が収束するように$c$の値を定めよ．また，そのときの極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{3^{n-1}}}$を求めよ．