2017　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，$x$の不等式

$\begin{array}{ll}|4x-3|<2x+1& \cdots \text{①}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2ax+1-2a^2<0& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．$\text{①}$を解くと，$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$である．$\text{②}$を満たす$x$が存在するとき，$a$の取り得る値の範囲は$a<-\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}<a$である．また，$\text{①}$と$\text{②}$を同時に満たす整数$x$が存在するとき，$a$の取り得る値の範囲は$a<\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}<a$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　大，小$2$個のサイコロを同時に投げ，大のサイコロの出た目を$a\text{，}$小のサイコロの出た目を$b$とする．このとき，$2$つの直線$y=ax\text{，}y=-bx+30$の交点の座標$(x,y)$について考える．$x\text{，}y$がどちらも整数となる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．$x\text{．}y$がどちらも整数であったとき，$a=4$である条件付き確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$a=2b$である条件付き確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，$x$は整数とならず$y$が整数となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$x$が整数とならず$y$も整数とならない確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数

$y=({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{4}})({\log }_8{\displaystyle \frac{x}{8}})\text{（}1\leqq x\leqq 16\text{）}$

は$x=\boxed{\text{ア}}$で最小値$\boxed{\text{イ}}$をとり，$x=\boxed{\text{ウ}}$で最大値$\boxed{\text{エ}}$をとる．また，$y={\displaystyle \frac{5}{4}}$となる$x$の値は$x=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　一辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{カ}}$である．$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすると，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\boxed{\text{キ}}$と表せ，$\mathrm{DE}$の長さは$\boxed{\text{ク}}$である．さらに，$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，線分$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{G}$をとって$\overrightarrow{\mathrm{DG}}=s\overrightarrow{\mathrm{DE}}$とすると，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}s$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{FG}}=\boxed{\text{ケ}}$である．特に，線分$\mathrm{FG}$が線分$\mathrm{DE}$と直交するとき$s=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$a>0$とし，$f(x)=2x^3-3a{x}^2-ax+a^3+a$とする．また，点$(a,f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$と放物線$y=x^2+8$の共有点の個数が$1$個であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値であるとする．$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を求めよ．

(4)　$a$が(2)で求めた値であるとする．曲線$y=f(x)$と接線$l$で囲まれる図形の面積を求めよ．