2017　関西学院大　理系関学独自入試2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　等式${\displaystyle \frac{x-2}{x^2(x+1)}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x^2}}+{\displaystyle \frac{c}{x+1}}$が$x$についての恒等式となるような定数$a\text{，}b\text{，}c$の値は，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2)$と$\overrightarrow{b}=(x-3,x)$が平行になるような$x$の値は$\boxed{\text{エ}}$であり，またそのとき，$\overrightarrow{a}=\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{b}$である．$\overrightarrow{a}$と平行で大きさが$1$であるベクトルのうち，$x$成分が正であるものは，$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　関数$f(x)={\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$は，$x=\boxed{\text{キ}}$のとき極大値$\boxed{\text{ク}}$をとり，$x=\boxed{\text{ケ}}$のとき極小値$\boxed{\text{コ}}$をとる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内の$2$直線$l_1\text{：}4x-3y=0\text{，}{l}_2\text{：}2x+y=10$の交点$\mathrm{A}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．また，$l_2$と直交し原点を通る直線$l_3$の方程式は$y=\boxed{\text{ウ}}$であり，$l_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{B}$とするとき，角$\mathrm{ABO}$の二等分線と$l_1$の交点の座標は$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．

連立不等式

$4x-3y\geqq 0\text{，}2x+y\leqq 10\text{，}y\geqq \boxed{\text{ウ}}$

の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x-y$の最大値と最小値の差は$\boxed{\text{カ}}$である．領域$D$が方程式${(x-3)}^2+y^2=R^2$で表される円$C_1$の内部にあるような半径$R$の範囲は$R>\boxed{\text{キ}}$であり，領域$D$が方程式${(x-4)}^2+{(y+3)}^2=r^2$で表される円$C_2$の外部にあるような半径$r$の範囲は$0<r<\boxed{\text{ク}}$である．また，$R=\boxed{\text{キ}}\text{，}r=\boxed{\text{ク}}$であるとき，$2$円$C_1\text{，}{C}_2$の$2$つの交点を通る直線の方程式を$ax+by=1$とおくと，$a=\boxed{\text{ケ}}\text{，}b=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$a$を$1$より大きい定数とし，関数$f(x)=\log x\text{（}x>0\text{）}$を考える．

(1)　曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$直線$x=a\text{，}$および$x$軸で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{ア}}$である．曲線$C_1$上の点$(a,f(a))$における接線$l$の$y$切片は$\boxed{\text{イ}}\text{，}$直線$l$と$x$軸の交点の$x$座標は$\boxed{\text{ウ}}$である．直線$l$が原点を通るような$a$の値は，$a=\boxed{\text{エ}}$である．また，$\boxed{\text{ウ}}=-a$を満たす$a$の値は，$a=\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$a=\boxed{\text{オ}}$のとき，直線$l$が曲線$C_2\text{：}y=e^x+b$（$b$は実数の定数）に接しているとすると，曲線$C_2$と$l$の接点の$x$座標は$\boxed{\text{カ}}$であり，$b$の値は$b=\boxed{\text{キ}}$である．$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}$のとき，曲線$C_2\text{，}$直線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の直線は$\boxed{\text{ク}}$である．

(3)　${(\log x)}^2$の不定積分は，

${\displaystyle \int }{(\log x)}^{2}dx=\boxed{\text{ケ}}+C$（$C$は積分定数）

である．曲線$C_1\text{，}$直線$x=\boxed{\text{エ}}\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$があり，その頂点は反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の順に並んでいるとする．最初に$\mathrm{A}$に$1$つのコマを置く．$1$枚の硬貨を投げて，表が出たら反時計回りに隣の頂点にコマを移動し，裏が出たら動かさない．硬貨を$n$回続けて投げたとき，コマが点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を用いて表せ．また，$a_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(3)　$a_{n+3}$を$a_n$を用いて表せ．

(4)　$p_m=a_{3m}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$p_m$を$m$の式で表せ．