2017　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施MathJax

(1)　$a$を実数とする．$2$次関数

$y=-3x^2+6ax-3x-5a^2+{\displaystyle \frac{13a}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}\cdots \text{①}$

は，$x=\boxed{\text{ア}}$のとき最大値$\boxed{\text{イ}}$をとる．$\text{①}$のグラフと$x$軸が$2$個の共有点をもつとき，$a$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}<a<\boxed{\text{エ}}$である．また，$\text{①}$のグラフを$x$軸方向に${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線が原点を通るとき，$b$を$a$を用いて表すと$b=\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　数字$1$が書かれた赤玉が$2$つ，数字$2$が書かれた赤玉が$1$つ，数字$1$が書かれた白玉が$1$つ，数字$2$が書かれた白玉が$2$つ，数字$2$が書かれた青玉が$3$つ，合計$9$つの玉が入った袋がある．この袋の中から玉を$1$つ取り出して玉の色と数字を確認し，赤玉を取り出したときは袋の中に戻し，白玉か青玉を取り出したときは戻さない．これを$3$回続けて行う．このとき，$3$回とも青玉を取り出す確率は$\boxed{\text{カ}}\text{，}$取り出した玉の色が赤，青，青の順になる確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$取り出した玉の色が青，青，赤の順になる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，$2$回目に取り出した玉に書いてある数字が$1$である確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．$1$回目に白玉を取り出したことが分かったとき，$2$回目に取り出した玉に書いてある数字が$1$である条件付き確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$x$についての不等式${12}^x\leqq 4^{8-2x}$を解くと，$x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}+{\log }_{2}3}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は整数である．よって，$1.5<{\log }_{2}3<1.6$であることを用いると，${12}^x\leqq 4^{8-2x}$を満たす最大の整数$x$は$\boxed{\text{ウ}}$である．ここで，連立不等式

$\{\begin{array}{l}{12}^x\leqq y\leqq {12}^{2x}\\ y\leqq 4^{8-2x}\end{array}\cdots \text{①}$

を満たす整数の組$(x,y)$を考える．整数の組$(x,y)$が$\text{①}$を満たすとき，$x$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．また，$\text{①}$を満たす整数の組$(x,y)$の個数は$\boxed{\text{オ}}$個である．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=4$を満たすとする．このとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$\boxed{\text{カ}}$であり，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$がなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta =\boxed{\text{キ}}$である．また，$|t\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$を最小にする実数$t$の値$t_0$は$\boxed{\text{ク}}$であり，そのときの最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．さらに，この$t_0$に対して，$t_0\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}$の内積は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　関数$y=f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　直線$y=x$と曲線$y=f(x)$のすべての共有点の座標を求めよ．

(3)　直線$y=x$と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形のうち，$x\leqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．