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2017-16026-0101
2017 西南学院大学 神,経済学部A日程
A日程2月9日
1〜2合わせて30点
易□ 並□ 難□
【1】
1 以下の問に答えよ.
(1) 放物線 y =x2 +3⁢x +a を x 軸方向に 2 だけ平行移動し,その後, x 軸に関して対称移動した放物線が点 ( 1,3 ) を通るとき,定数 a は アイ である.
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(2) 不等式 log12 ⁡( x+2) +log1 2⁡ (x- 4)- log12 ⁡( 7⁢x- 16)> 0 を満たす x のうち,最小の自然数は ウ , 最大の自然数は エ である.
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2 放物線 C1 ,C 2 が以下で与えられている(ただし, a≠0 である).
C1: x2= 4⁢y+ 9
C2 :x2 =a⁢y +9
C1 と C 2 は 2 つの異なる交点をもつ.
(1) 異なる 2 つの交点をもつ条件は, a< オ または a > カ である.
(2) 交点における C 2 の接線の傾きは ± キ a⁢ ク -a ケ -a である.
(3) 交点で C 1 と C 2 の接線が互いに直交するとき, a= コサ である.
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【2】
1 1 から 200 までの整数のうち, 3 の倍数全体の集合を A ,5 の倍数全体の集合を B ,8 の倍数全体の集合を C とする.
(f1) 集合 A∩ B∩ C の要素の個数は シ である.
(2) 集合 A∪ B∪ C の要素の個数は スセソ である.
(3) 集合 ( A∩ B) ∪C の要素の個数は タチ である.
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2 正の整数 a と b の最大公約数は,数列 { an }, { bn } を使って以下のように求めることができる.
a1 =a ,b 1=b
an+ 1={ bn ( bn≠ 0 のとき) an ( bn= 0 のとき)
bn +1= { an を b n で割った余り ( bn≠ 0 のとき) bn ( bn= 0 のとき)
an を b n で割った商を q n とし, N は bN=0 を満たす最小の自然数とする.このとき, aN が a と b の最大公約数となる.
(1) a=81 , b=63 のとき, a3 = ツテ , b3 = ト , N= ナ である.
(2) 81 と 63 の最大公約数は ニ である.
(3) 以上の計算により,
81=63 ⁢q1 +bk
63= bk⁢ q2+ 9
という関係が成り立つ.このとき, k= ヌ である.この 2 つの式から b k を消去することで,不定方程式 81 ⁢x+63 ⁢y=9 を満たす整数 x , y の組のうち, -10< x<4 となるものは, x= ネノ , y= ハ であることがわかる.
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【3】
1 ∑k= 1n k2= 1 6⁢ n⁢ (n+ 1)⁢ (2⁢ n+1 ) を,数学的帰納法を用いて証明せよ.
2 右図のように石をしきつめ, 1 辺の石の数が n 個になる正三角形をつくる.このとき必要な石の数を a n とする.以下の問に答えよ.
(1) a7 を求めよ.
(2) an を漸化式を用いて表せ.
(3) 第 n 項を a n とする数列の一般項を求めよ.
(4) a1 +a2 +⋯+ a23 を求めよ.