2017　西南学院大学　神,経済学部Ａ日程MathJax

【１】

１　以下の問に答えよ．

(1)　放物線$y=x^2+3x+a$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動し，その後，$x$軸に関して対称移動した放物線が点$(1,3)$を通るとき，定数$a$は$\boxed{\text{アイ}}$である．

【１】

１　以下の問に答えよ．

(2)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x-4)-{\log }_{\frac{1}{2}}(7x-16)>0$を満たす$x$のうち，最小の自然数は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$最大の自然数は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

２　放物線$C_1\text{，}{C}_2$が以下で与えられている（ただし，$a\ne 0$である）．

$C_1\text{：}{x}^2=4y+9$

$C_2\text{：}{x}^2=ay+9$

$C_1$と$C_2$は$2$つの異なる交点をもつ．

(1)　異なる$2$つの交点をもつ条件は，$a<\boxed{\text{オ}}$または$a>\boxed{\text{カ}}$である．

(2)　交点における$C_2$の接線の傾きは$\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{a}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}-a}{\boxed{\text{ケ}}-a}}}$である．

(3)　交点で$C_1$と$C_2$の接線が互いに直交するとき，$a=\boxed{\text{コサ}}$である．

【２】

１　$1$から$200$までの整数のうち，$3$の倍数全体の集合を$\mathrm{A}\text{，}5$の倍数全体の集合を$\mathrm{B}\text{，}8$の倍数全体の集合を$\mathrm{C}$とする．

(1)　集合$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}$の要素の個数は$\boxed{\text{シ}}$である．

(2)　集合$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\cup \mathrm{C}$の要素の個数は$\boxed{\text{スセソ}}$である．

(3)　集合$(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\cup \mathrm{C}$の要素の個数は$\boxed{\text{タチ}}$である．

【２】

２　正の整数$a$と$b$の最大公約数は，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を使って以下のように求めることができる．

$a_1=a\text{，}{b}_1=b$

$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{b}_n& \text{（}{b}_n\ne 0\text{のとき）}\\ a_n& \text{（}{b}_n=0\text{のとき）}\end{array}$

$b_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n\text{を}{b}_n\text{で割った余り}& \text{（}{b}_n\ne 0\text{のとき）}\\ b_n& \text{（}{b}_n=0\text{のとき）}\end{array}$

$a_n$を$b_n$で割った商を$q_n$とし，$N$は$b_N=0$を満たす最小の自然数とする．このとき，$a_N$が$a$と$b$の最大公約数となる．

(1)　$a=81\text{，}b=63$のとき，$a_3=\boxed{\text{ツテ}}\text{，}{b}_3=\boxed{\text{ト}}\text{，}N=\boxed{\text{ナ}}$である．

(2)　$81$と$63$の最大公約数は$\boxed{\text{ニ}}$である．

(3)　以上の計算により，

$81=63q_1+b_k$

$63=b_k{q}_2+9$

という関係が成り立つ．このとき，$k=\boxed{\text{ヌ}}$である．この$2$つの式から$b_k$を消去することで，不定方程式$81x+63y=9$を満たす整数$x\text{，}y$の組のうち，$-10<x<4$となるものは，$x=\boxed{\text{ネノ}}\text{，}y=\boxed{\text{ハ}}$であることがわかる．

【３】

１　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$を，数学的帰納法を用いて証明せよ．

２　右図のように石をしきつめ，$1$辺の石の数が$n$個になる正三角形をつくる．このとき必要な石の数を$a_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$a_7$を求めよ．

(2)　$a_n$を漸化式を用いて表せ．

(3)　第$n$項を$a_n$とする数列の一般項を求めよ．

(4)　$a_1+a_2+\cdots +a_{23}$を求めよ．