2017　西南学院大学　文,法学部Ａ日程MathJax

【１】

１　以下の問に答えよ．

(1)　$n^2-12n+32$の値が素数となる整数$n$は$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

１　以下の問に答えよ．

(2)　$500!$を計算すると，末尾に連続した$0$が$\boxed{\text{ウエオ}}$個並ぶ．

【１】

１　以下の問に答えよ．

(3)　命題「$p⟹q$」の対偶は，$\boxed{\text{カ}}$となる．次の選択肢から$1$つ選べ．

• 1.　$\bar{p}⟹q$
• 2.　$\bar{p}⟹\bar{q}$
• 3.　$\bar{q}⟹p$
• 4.　$\bar{q}⟹\overrightarrow{p}$

【１】

１　以下の問に答えよ．

(4)　命題「$p⟹q$」について，条件$p$を満たすものの集合を$\mathrm{P}\text{，}$条件$q$を満たすものの集合を$\mathrm{Q}$とする．命題「$p⟹q$」が真であるとき，その待遇について，$\boxed{\text{キ}}$が成り立つ．次の選択肢から$1$つ選べ．

• 1.　$\bar{\mathrm{P}}\subset \mathrm{Q}$
• 2.　$\bar{\mathrm{P}}\subset \bar{\mathrm{Q}}$
• 3.　$\bar{\mathrm{Q}}\subset \mathrm{P}$
• 4.　$\bar{\mathrm{Q}}\subset \bar{\mathrm{P}}$

【１】

２　$x$の$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$とし，$y=f(x)$のグラフを$G$とする．$0\leqq x\leqq 5$における$f(x)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．$G$が$2$点$(1,1)\text{，}(5,1)$を通るとき，以下の問に答えよ．

(1)　$G$の頂点は，点$(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケコ}}a+1)$となる．

(2)　$M<3\text{，}m=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$となるとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$となる．

【２】

１　以下の問に答えよ．

(1)　$3^{40}$は，$\boxed{\text{セソ}}$桁の数である．ただし，${\log }_{10}3=0.477$とする．

【２】

１　以下の問に答えよ．

(2)　短辺と長辺の長さの和が$34\text{，}$対角線の長さが$30$の長方形がある．この長方形と同じ面積をもつ正方形の一辺の長さは，$\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$である．

【２】

１　以下の問に答えよ．

(3)　$x=3$のとき，最大値$5$をとる$2$次関数を考える．直線$y=2x-3$との$2$つの交点をそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の中点の$x$座標が$1$のとき，この$2$次関数は$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}{(x-3)}^2+5$である．

【２】

２　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{AC}=6\text{，}\mathrm{BC}=7$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\cos A$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$である．

(3)　内接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．

【３】　自然数$n$の素因数分解が$n=p^a{q}^b$で与えられている．$a\text{，}b$は正の整数，$p\text{，}q$は異なる素数である．

(1)　$p^a$の約数について，その個数と和を求めよ．

(2)　$n$の約数の個数を求めよ．

(3)　$n$以下の自然数のうち，$p$の倍数の個数，および$pq$の倍数の個数を求めよ．

(4)　$n$以下の自然数のうち，$n$と互いに素であるものの個数は，

$n(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})(1-{\displaystyle \frac{1}{q}})$

であることを証明せよ．