2018　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕　$\alpha ={\displaystyle \frac{4}{4-\sqrt{7}}}$とする．$\alpha$の分母を有理化すると

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}\cdots \text{①}$

となる．

　また，$r$を有理数とし

$\beta ={\displaystyle \frac{9-(r^2-3r)\sqrt{7}}{5}}$

とする．

(1)　一般に，$\sqrt{7}$が無理数であることから，有理数$p\text{，}q$に対して

$p+q\sqrt{7}=0⟺p=q=\boxed{\text{カ}}$

が成り立つ．

(2)　$\alpha -\beta$が有理数ならば，$r$は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{オ}}}}+{\displaystyle \frac{r^2-3r}{\boxed{\text{キ}}}}=0$

を満たす．このとき

$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$または$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．ただし，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$の解答の順序は問わない．

(3)　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$が有理数ならば，$\text{①}$の右辺の分子はある有理数$s$を用いて

$\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}=s\{\boxed{\text{シ}}-(r^2-3r)\sqrt{7}\}$

と表される．このとき，$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$であり，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．

【１】

〔２〕　$a$を正の実数とする．このとき，実数$x$に関する次の条件$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を考える．

$p\text{：}|x-1|\leqq a\text{，}$$q\text{：}\left|x\right|\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}$$r\text{：}{x}^2-2x\leqq a$

(1)　次の$\boxed{\text{テ}}\text{，}$$\boxed{\text{ト}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちからそれぞれ一つ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$a=1$のとき，$p$は$q$であるための$\boxed{\text{テ}}\text{．}$また，$a=3$のとき，$p$は$q$であるための$\boxed{\text{ト}}\text{．}$

$\overline{)\text{0}}$　必要条件であるが，十分条件ではない

$\overline{)\text{1}}$　十分条件であるが，必要条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

(2)　命題「$p⟹q$」が真となるような$a$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．また，命題「$q⟹p$」が真となるような$a$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

(3)　命題「$r⟹q$」が真となるような$a$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【２】　実数$a$は$2$次不等式$a^2-3<a$を満たすとする．このとき$a$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

　$x$の$2$次関数

$f(x)=-x^2+1$

を考える．

(1)　$a^2-3\leqq x\leqq a$における関数$y=f(x)$の最大値が$1$であるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{オ}}\leqq a\leqq \sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

である．

　また，$a^2-3\leqq x\leqq a$における関数$y=f(x)$の最大値が$1$で，最小値が$f(a)$であるような$a$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}\leqq a\leqq \sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

である．

(2)　$a^2-3\leqq x\leqq a$における関数$y=f(x)$の最大値が$f(a^2-3)$で，最小値が$f(a)$であるような$a$の値の範囲は

$\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\leqq a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}\cdots \text{①}$

である．

　$L=f(a^2-3)-f(a)$とおく．$a$の値が$\text{①}$の範囲にあるとき，$L$のとり得る値の範囲を求めてみよう．$t=a^2$とおいて，$L$を$t$を用いて表すと

$L=\boxed{\text{ス}}{t}^2+\boxed{\text{セ}}t-\boxed{\text{ソ}}$

である．$a$の値が$\text{①}$の範囲にあるとき，$t$の値の範囲は

$\boxed{\text{シ}}\leqq t<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}+\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

である．したがって，$L$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{ト}}<L\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．また，$L={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$となるのは，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$のときである．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}\text{，}$$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{3}{5}}$とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

　$\cos \angle \mathrm{ACB}=\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であるから，$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$または$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(2)　以下では$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$とする．

　このとき，$\tan \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$での接線と点$\mathrm{B}$での接線の交点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{A}$での接線と点$\mathrm{C}$での接線の交点を$\mathrm{Q}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，$\angle \mathrm{AOB}$と$\angle \mathrm{ACB}$の関係から$\tan \angle \mathrm{AOP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}$$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．また，四角形$\mathrm{ORAS}$の内角$\angle \mathrm{ROS}$については，$\cos \angle \mathrm{ROS}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【４】　高校生の$\mathrm{K}$さんは，ニュースで「為替レート（$1$米ドルは何円か）」および「日経平均株価」と呼ばれている数値が日々変化していることに興味をもったので，これらの数値を入手して調べてみることにした．

　為替レートを$100$で割ったものを$X$とする．例えば，$1$米ドルが$123$円のとき$X$は$1.23$となる．また，日経平均株価を$\mathrm{10,000}$で割ったものを$Y$とする．例えば，日経平均株価が$\mathrm{16,500}$円のとき$Y$は$1.65$となる．

　図１は，$X\text{，}Y$の日々の変化を描いたものである．ただし，土曜日，日曜日，祝日などデータのない日は除いている．全期間を次の二つの期間に分けて考察する．

期間$\mathrm{A}$：$2013$年$1$月$4$日〜$2014$年$11$月$28$日（$468$日分のデータ）

期間$\mathrm{B}$：$2014$年$12$月$1$日〜$2016$年$1$月$29$日（$284$日分のデータ）

図２は，期間$\mathrm{A}$と期間$\mathrm{B}$における$X\text{，}$$Y$のデータの散布図である．

(1)　表１は，$X$と$Y$について平均値，標準偏差および共分散を計算し，有効数字$3$桁で表したものである．ただし，$X$と$Y$の共分散とは，$X$の偏差と$Y$の偏差の積の平均値である．

　次の$\boxed{\text{ア}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　表１を用いて，期間$\mathrm{A}\text{，}$期間$\mathrm{B}$における$X$と$Y$の相関係数を求め，小数第$3$位を四捨五入すると，それぞれ$0.91$と$0.82$である．全期間における$X$と$Y$の相関係数を$r$とすると$\boxed{\text{ア}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$r\leqq 0$
• $\overline{)\text{1}}$　$0<r<0.82$
• $\overline{)\text{2}}$　$r=0.82$
• $\overline{)\text{3}}$　$0.82<r<0.91$
• $\overline{)\text{4}}$　$r=0.91$
• $\overline{)\text{5}}$　$0.91<r$

(2)　$X$のデータの$t$番目の値を$x_t$とする．期間$\mathrm{A}$に対応するのは$t=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$468$であり，期間$\mathrm{B}$に対応するのは$t=469\text{，}$$470\text{，}\cdots \text{，}$$752$である．$X$が日々どのように変化しているか調べるために，次の式によって定義される$u_t$を計算する．

$u_t={\displaystyle \frac{x_{t+1}-x_t}{x_t}}\times 100$

ただし，期間$\mathrm{A}$の最終日（$t=468$）と期間$\mathrm{B}$の最終日（$t=752$）については$u_t$を計算しない．$u_1\text{，}\cdots \text{，}$$u_{467}$および$u_{469}\text{，}\cdots \text{，}$$u_{751}$を$U$のデータと呼ぶ．

　図３および図４は，期間$\mathrm{A}\text{，}$期間$\mathrm{B}$における$U$のデータのヒストグラムおよび箱ひげ図である．期間$\mathrm{A}$における中央値は$0.0584$であり，期間$\mathrm{B}$における中央値は$0.0252$であった．

　次の$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　図３および図４から$U$のデータについて読み取れることとして正しいものは，$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　期間$\mathrm{A}$における最大値は，期間$\mathrm{B}$における最大値より小さい．

$\overline{)\text{1}}$　期間$\mathrm{A}$における第$1$四分位数は，期間$\mathrm{B}$における第$1$四分位数より小さい．

$\overline{)\text{2}}$　期間$\mathrm{A}$における四分位範囲と期間$\mathrm{B}$における四分位範囲の差は$0.2$より大きい．

$\overline{)\text{3}}$　期間$\mathrm{A}$における範囲は，期間$\mathrm{B}$における範囲より小さい．

$\overline{)\text{4}}$　期間$\mathrm{A}\text{，}$期間$\mathrm{B}$の両方において，四分位範囲は中央値の絶対値の$8$倍より大きい．

$\overline{)\text{5}}$　期間$\mathrm{A}$において，第$3$四分位数は度数が最大の階級に入っている．

$\overline{)\text{6}}$　期間$\mathrm{B}$において，第$1$四分位数は度数が最大の階級に入っている．

(3)　$X\text{，}$$Y$から$X^{\prime }\text{，}$$Y^{\prime }$を次の式によって定義する．

$X^{\prime }=aX+b\text{，}$$Y^{\prime }=cY+d$

ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は定数であり，$a\ne 0$かつ$c\ne 0$である．

　次の$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}$にそれぞれ当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

・$X^{\prime }$の分散は，$X$の分散の$\boxed{\text{エ}}$倍になる．

・$X^{\prime }$と$Y^{\prime }$の共分散は，$X$と$Y$の共分散の$\boxed{\text{オ}}$倍である．

・$X^{\prime }$と$Y^{\prime }$の相関係数は，$X$と$Y$の相関係数の$\boxed{\text{カ}}$倍である．

(4)　次の図５の三つの散布図について考える．散布図１で表される$V$と$W$の$2$種類のデータの相関係数，散布図２で表される$V^{\prime }$と$W^{\prime }$の$2$種類のデータの相関係数，および散布図３で表される$V^{″}$と$W^{″}$の$2$種類のデータの相関係数をそれぞれ$r_1\text{，}{r}_2$および$r_3$とする．これらは，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めると，$-0.76\text{，}$$0.10\text{，}$$0.98$のいずれかであることがわかっている．

　次の$\boxed{\text{キ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．　

　$r_1\text{，}$$r_2$および$r_3$の値の組み合わせとして正しいものは$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

〔１〕　$\alpha ={\displaystyle \frac{4}{4-\sqrt{7}}}$とする．$\alpha$の分母を有理化すると

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

となる．

　また，$r$を有理数とし

$\beta ={\displaystyle \frac{9-(r^2-3r)\sqrt{7}}{5}}$

とする．

(1)　一般に，$\sqrt{7}$が無理数であることから，有理数$p\text{，}q$に対して

$p+q\sqrt{7}=0⟺p=q=\boxed{\text{カ}}$

が成り立つ．

(2)　$\alpha -\beta$が有理数ならば，$r$は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{オ}}}}+{\displaystyle \frac{r^2-3r}{\boxed{\text{キ}}}}=0$

を満たす．このとき

$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$または$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．ただし，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$の解答の順序は問わない．

【１】〔３〕　実数$a$は$2$次不等式$a^2-3<a$を満たすとする．このとき$a$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}-\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}+\sqrt{\boxed{\text{ナニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

　$x$の$2$次関数

$f(x)=-x^2+1$

を考える．

　$a^2-3\leqq x\leqq a$における関数$y=f(x)$の最大値が$1$であるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{ネ}}\leqq a\leqq \sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$

である．

　また，$a^2-3\leqq x\leqq a$における関数$y=f(x)$の最大値が$1$で，最小値が$f(a)$であるような$a$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハヒ}}+\sqrt{\boxed{\text{フヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\leqq a\leqq \sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$

である．

【２】

〔１〕　$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=10\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{AC}=14$を満たす．

(1)　$\cos \angle \mathrm{B}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を取り，$\angle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$R$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{R}}=\boxed{\text{ウ}}$であり，点$\mathrm{D}$を点$\mathrm{B}$から点$\mathrm{C}$まで移動させるとき，$R$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$とは異なる点とする．

(2)　$▵\mathrm{ABD}$の外接円の中心が辺$\mathrm{BC}$上にあるとき，$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$であり，$▵\mathrm{ACD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【２】

〔２〕　高校生の$\mathrm{K}$さんは，ニュースで「為替レート（$1$米ドルは何円か）」および「日経平均株価」と呼ばれている数値が日々変化していることに興味をもったので，これらの数値を入手して調べてみることにした．

　為替レートを$100$で割ったものを$X$とする．例えば，$1$米ドルが$123$円のとき$X$は$1.23$となる．また，日経平均株価を$\mathrm{10,000}$で割ったものを$Y$とする．例えば，日経平均株価が$\mathrm{16,500}$円のとき$Y$は$1.65$となる．

　図１は，$X\text{，}$$Y$の日々の変化を描いたものである．ただし，土曜日，日曜日，祝日などデータのない日は除いている．全期間を次の二つの期間に分けて考察する．

期間$\mathrm{A}$：$2013$年$1$月$4$日〜$2014$年$11$月$28$日（$468$日分のデータ）

期間$\mathrm{B}$：$2014$年$12$月$1$日〜$2016$年$1$月$29$日（$284$日分のデータ）

図２は，期間$\mathrm{A}$と期間$\mathrm{B}$における$X\text{，}$$Y$のデータの散布図である．

(1)　表１は，$X$と$Y$について平均値，標準偏差および共分散を計算し，有効数字$3$桁で表したものである．ただし，$X$と$Y$の共分散とは，$X$の偏差と$Y$の偏差の積の平均値である．

　次の$\boxed{\text{シ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　表１を用いて，期間$\mathrm{A}\text{，}$期間$\mathrm{B}$における$X$と$Y$の相関係数を求め，小数第$3$位を四捨五入すると，それぞれ$0.91$と$0.82$である．全期間における$X$と$Y$の相関係数を$r$とすると$\boxed{\text{シ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$r\leqq 0$
• $\overline{)\text{1}}$　$0<r<0.82$
• $\overline{)\text{2}}$　$r=0.82$
• $\overline{)\text{3}}$　$0.82<r<0.91$
• $\overline{)\text{4}}$　$r=0.91$
• $\overline{)\text{5}}$　$0.91<r$

(2)　$X$のデータの$t$番目の値を$x_t$とする．期間$\mathrm{A}$に対応するのは$t=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$468$であり，期間$\mathrm{B}$に対応するのは$t=469\text{，}$$470\text{，}\cdots \text{，}$$752$である．$X$が日々どのように変化しているか調べるために，次の式によって定義される$u_t$を計算する．

$u_t={\displaystyle \frac{x_{t+1}-x_t}{x_t}}\times 100$

ただし，期間$\mathrm{A}$の最終日（$t=468$）と期間$\mathrm{B}$の最終日（$t=752$）については$u_t$を計算しない．$u_1\text{，}\cdots \text{，}$$u_{467}$および$u_{469}\text{，}\cdots \text{，}$$u_{751}$を$U$のデータと呼ぶ．

　図３および図４は，期間$\mathrm{A}\text{，}$期間$\mathrm{B}$における$U$のデータのヒストグラムおよび箱ひげ図である．期間$\mathrm{A}$における中央値は$0.0584$であり，期間$\mathrm{B}$における中央値は$0.0252$であった．

　次の$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，解答の順序は問わない．

　図３および図４から$U$のデータについて読み取れることとして正しいものは，$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$である．

$\overline{)\text{0}}$　期間$\mathrm{A}$における最大値は，期間$\mathrm{B}$における最大値より小さい．

$\overline{)\text{1}}$　期間$\mathrm{A}$における第$1$四分位数は，期間$\mathrm{B}$における第$1$四分位数より小さい．

$\overline{)\text{2}}$　期間$\mathrm{A}$における四分位範囲と期間$\mathrm{B}$における四分位範囲の差は$0.2$より大きい．

$\overline{)\text{3}}$　期間$\mathrm{A}$における範囲は，期間$\mathrm{B}$における範囲より小さい．

$\overline{)\text{4}}$　期間$\mathrm{A}\text{，}$期間$\mathrm{B}$の両方において，四分位範囲は中央値の絶対値の$8$倍より大きい．

$\overline{)\text{5}}$　期間$\mathrm{A}$において，第$3$四分位数は度数が最大の階級に入っている．

$\overline{)\text{6}}$　期間$\mathrm{B}$において，第$1$四分位数は度数が最大の階級に入っている．

(3)　$X\text{，}$$Y$から$X^{\prime }\text{，}$$Y^{\prime }$を次の式によって定義する．

$X^{\prime }=aX+b\text{，}$$Y^{\prime }=cY+d$

ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は定数であり，$a\ne 0$かつ$c\ne 0$である．

　次の$\boxed{\text{ソ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうちから一つずつ選べ．

$X^{\prime }$と$Y^{\prime }$の相関係数は，$X$と$Y$の相関係数の$\boxed{\text{ソ}}$倍である．

(4)　次の図５の三つの散布図について考える．散布図１で表される$V$と$W$の$2$種類のデータの相関係数，散布図２で表される$V^{\prime }$と$W^{\prime }$の$2$種類のデータの相関係数，および散布図３で表される$V^{″}$と$W^{″}$の$2$種類のデータの相関係数をそれぞれ$r_1\text{，}{r}_2$および$r_3$とする．これらは，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めると，$-0.76\text{，}$$0.10\text{，}$$0.98$のいずれかであることがわかっている．

　次の$\boxed{\text{タ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．　

　$r_1\text{，}{r}_2$および$r_3$の値の組み合わせとして正しいものは$\boxed{\text{タ}}$である．

【３】　数字$1$が書かれたカードが$4$枚，数字$2$が書かれたカードが$2$枚，数字$5$が書かれたカードが$2$枚，合計$8$枚のカードがある．

(1)　$8$枚のカードを一列に並べて$8$桁の整数をつくる．

　このときできる$8$桁の整数の個数は全部で$\boxed{\text{アイウ}}$個である．さらに，次の条件(＊)が満たされるときにできる$8$桁の整数を考える．

(＊)　数字$1$が書かれた$4$枚のカードのどの$2$枚のカードも隣り合わない．

　この条件(＊)は，例えば，$\boxed{1}\boxed{2}\boxed{1}\boxed{5}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{1}\boxed{5}$のとき満たされる．条件(＊)が満たされるときにできる$8$桁の整数の個数は全部で$\boxed{\text{エオ}}$個である．

(2)　一般に，事象$A$の確率を$P(A)$で表す．また，二つの事象$A\text{，}$$B$の積事象を$A\cap B$と表す．

　$8$枚のカードからでたらめに$3$枚を取り出して袋に入れるという試行を$T_1$とし，さらに，その$3$枚のカードが入った袋からでたらめに$1$枚のカードを取り出すという試行を$T_2$とする．

　試行$T_1$において，袋の中の数字$5$が書かれたカードの枚数が$0$枚である事象を$A_0\text{，}$$1$枚である事象を$A_1\text{，}$$2$枚である事象を$A_2$とすると

$P(A_0)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}\text{，}$$P(A_1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}\text{，}$$P(A_2)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$

である．

　試行$T_2$において数字$5$が書かれたカードが取り出されるという事象を$B$とすると

$P(A_1\cap B)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}\text{，}$$P(A_2\cap B)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{トナ}}}}$

である．

　以上のことから，試行$T_2$において数字$5$が書かれたカードが取り出されたとき，袋の中にもう$1$枚の数字$5$が書かれたカードが入っている条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【４】〔１〕　不定方程式

$23x-31y=2$

の解となる自然数$x\text{，}y$の組で，$x$が最小になるのは

$x=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$y=\boxed{\text{ウエ}}$

である．

　$n=31\times \boxed{\text{ウエ}}$とする．自然数$n^3$を$23$で割ると余りは$\boxed{\text{オカ}}$である．

【４】〔２〕

(1)　$10$進法の分数${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{9}}$を$10$進法の小数で表すと循環小数$0.\stackrel{\cdot }{5}$となり，$3$進法の小数で表すと有限小数${0.\boxed{\text{クケ}}}_{(3)}$となる．

(2)　ある有理数$x$を$2$進法で表すと循環小数${0.\stackrel{\cdot }{1}\stackrel{\cdot }{0}}_{(2)}$となった．このとき，$4x$を$2$進法で表すと${\boxed{\text{コサ}}.\stackrel{\cdot }{1}\stackrel{\cdot }{0}}_{(2)}$となる．$2$進法の${\boxed{\text{コサ}}}_{(2)}$を$10$進法で表すと$\boxed{\text{シ}}$となるので，$4x-x$を$10$進法で表すと$\boxed{\text{シ}}$となる．したがって，$x$を$10$進法の分数で表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$となる．

(3)　$3$進法で表すと小数第$3$位までで終わる有理数$x$のうち，$x^2<{\displaystyle \frac{1}{7}}$を満たす最大の$x$を$3$進法で表すと${0.\boxed{\text{ソタチ}}}_{(3)}$となる．

【５】〔１〕　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の端点$\mathrm{A}$の側の延長と辺$\mathrm{CD}$の端点$\mathrm{D}$の側の延長が点$\mathrm{P}$で交わるとする．さらに，$\mathrm{PA}=x\text{，}$$\mathrm{PB}=\sqrt{10}$および$\mathrm{PD}=1$とする．このとき

$\mathrm{CD}=\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}x-\boxed{\text{ウ}}$

である．

　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とし

${\displaystyle \frac{\mathrm{RC}}{\mathrm{BR}}}=2$

とする．このとき

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【５】〔２〕　一般の凸多面体（へこみのない多面体）の頂点の数$v\text{，}$辺の数$e\text{，}$面の数$f$について$v-e+f$の値を考える．例えば，立方体の場合で考えると，この値は$\boxed{\text{ク}}$である．

　以下では$v:e=2:5$かつ$f=38$であるような凸多面体について考える．オイラーの多面体定理により$v-e+f=\boxed{\text{ク}}$であることがわかるので，$v=\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$$e=\boxed{\text{サシ}}$である．

　さらに，この凸多面体は$x$個の正三角形の面と$y$個の正方形の面で構成されていて，各頂点に集まる辺の数はすべて同じ$l$であるとする．このとき$3x+4y=\boxed{\text{スセソ}}$であることから$x=\boxed{\text{タチ}}$であり，さらに$l=\boxed{\text{ツ}}$である．