2018　北海道大学　前期MathJax

【１】　$t>1$とする．$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{t^2+1}\text{，}\mathrm{BC}=t-1\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{2}$とし，点$\mathrm{O}$を$▵\mathrm{ABC}$の外心とする．

(1)　$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを求めよ．

(2)　直線$\mathrm{CO}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直に交わるときの$t$の値を求めよ．

【２】　$a$と$b$は実数とし，関数$f(x)=x^2+ax+b$の$0\leqq x\leqq 1$における最小値を$m$とする．

(1)　$m$を$a$と$b$で表せ．

(2)　$a+2b\leqq 2$を満たす$a$と$b$で$m$を最大にするものを求めよ．また，このときの$m$の値を求めよ．

【３】　赤色，青色，黄色のサイコロが$1$つずつある．この$3$つのサイコロを同時に投げる．赤色，青色，黄色のサイコロの出た目の数をそれぞれ$R\text{，}B\text{，}Y$とし，自然数$s\text{，}t\text{，}u$を$s=100R+10B+Y\text{，}t=100B+10Y+R\text{，}u=100Y+10R+B$で定める．

(1)　$s\text{，}t\text{，}u$のうち少なくとも$2$つが$500$以上となる確率を求めよ．

(2)　$s>t>u$となる確率を求めよ．

【４】　$p$を実数とする．関数$y=x^3+p{x}^2+x$のグラフ$C_1$と関数$y=x^2$のグラフ$C_2$は，$x>0$の範囲に共有点を$2$個もつとする．

(1)　このような$p$の値の範囲を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の$x>0$の範囲にある共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とし，$0\leqq x\leqq \alpha$と$\alpha \leqq x\leqq \beta$の範囲で$C_1$と$C_2$が囲む部分の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$とする．$S_1=S_2$となるような$p$の値を求めよ．また，このときの$S_1$の値を求めよ．

【１】　座標空間の$4$点$\mathrm{A}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-1)\text{，}$$\mathrm{D}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-1)$に対し，

$\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{q}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

とおく．ただし，$\mathrm{O}$は原点，$s$と$t$は実数とする．

(1)　$\left|\overrightarrow{p}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{q}\right|$と内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$を$s\text{，}$$t$で表せ．

(2)　$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角が${\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$となるような$s$の値を求めよ．

(3)　$s$と$t$が実数を動くとき，$|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}|$の最小値を求めよ．

【２】　$z+{\displaystyle \frac{4}{z}}$が実数となるような$0$と異なる複素数$z$の全体を$D$とする．

(1)　$D$を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$k$を実数とする．$D$に属する$z$で方程式

$k(z+{\displaystyle \frac{4}{z}}+8)=i(z-{\displaystyle \frac{4}{z}})$

を満たすものが存在するような$k$の値の範囲を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

【３】　数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，同様に，数字の$0\text{，}1\text{，}8$が書かれたカードがそれぞれ$2$枚，あわせて$8$枚のカードがある．これらから$4$枚を取り出し，横一列に並べてできる自然数を$n$とする．ただし，$0$のカードが左から$1$枚または$2$枚現れる場合は，$n$は$3$桁または$2$桁の自然数とそれぞれ考える．例えば，左から順に$0\text{，}0\text{，}1\text{，}1$の数字のカードが並ぶ場合の$n$は$11$である．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は整数とする．$1000a+100b+10c+d$が$9$の倍数になることと$a+b+c+d$が$9$の倍数になることは同値であることを示せ．

(2)　$n$が$9$の倍数である確率を求めよ．

(3)　$n$が偶数であったとき，$n$が$9$の倍数である確率を求めよ．

【４】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}({\displaystyle \frac{15}{2}},0)\text{，}\mathrm{B}(11,11)$がある．条件

$\mathrm{BQ}\geqq \mathrm{OQ}\geqq 2\mathrm{AQ}$

を満たす点$\mathrm{Q}(x,y)$の全体を$D$とする．

(1)　$D$を座標平面上に図示せよ．また，$\mathrm{BQ}=\mathrm{OQ}=2\mathrm{AQ}$となるすべての点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$0<p\leqq 11$とし，$\mathrm{P}$を点$(p,11)$とする．条件$\mathrm{OQ}\geqq \mathrm{PQ}$を満たす$D$の点$\mathrm{Q}$が存在するような$p$の値の範囲を求めよ．

【５】　$2$つの関数

$f(x)=\cos x\text{，}g(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}-x^2}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

がある．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，不等式${\displaystyle \frac{2}{\pi }}x\leqq \sin x$が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，不等式$g(x)\leqq f(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$および$y$軸が囲む部分の面積を求めよ．