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2018-10007-0101
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2018 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a を定数とする.関数 f ⁡(x ) ,g ⁡(x ) をそれぞれ
f ⁡(x )= x3+ (2⁢ a-1) ⁢x2 -x-a , g ⁡(x )=x 2+( a+1) ⁢x-3
と定める.また,関数 f ⁡(x ) は x =a 3 で極値をとり, f ⁡(a )=g ⁡(a ) とする.
(1) a の値を求めよ.
(2) 曲線 y =f ⁡(x ) と放物線 y =g ⁡(x ) で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2018-10007-0102
【2】 正の実数 x に対し,関数 f ⁡(x ) を
f ⁡(x )= log⁡x x
と定める.また,曲線 y =f ⁡(x ) の変曲点 P における接線を l とする.
(1) 点 P の座標を求めよ.
(2) l の方程式を求めよ.
(3) 不定積分 ∫f ⁡(x )⁢d x を求めよ.また,曲線 y =f ⁡(x ) と x 軸および l で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2018-10007-0103
【3】 複素数 z を z =cos⁡ π6+ i⁢sin⁡ π 6 とおく.ただし, i は虚数単位とする.また,自然数 n に対し, zn+ 2 は 1 の 4 乗根, zn+ 1 は 1 の 3 乗根であるとする.
(1) f ⁡(x )= x2+x +1 とおく.このとき f ⁡( z4 ) の値を求めよ.
(2) n+5 を 12 で割った余り r を求めよ.
(3) zn+ 11 の偏角 θ を求めよ.ただし, θ の範囲は 0 ≦θ<2 ⁢π とする.
2018-10007-0104
【4】 数列 { an } は
a1 = 12 , an +1= (n+ 1)⁢ an n+3 n ⁢an ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
を満たすとする.
(1) bn= n an とおくとき, bn+ 1 を b n を用いて表せ.
(2) 数列 { an } の一般項を求めよ.
2018-10007-0105
【5】 ▵OAB が |OA →| =1 , | AB→ |=2 および | OB→ |=2 を満たすとする. t を 1 2<t <1 を満たす実数とし,辺 AB を 1 -t:t に内分する点を C , 辺 AB を t :1-t に内分する点を D とする.
(1) 内積 OA→⋅ OB→ を求めよ.
(2) OC→ ⋅OD →= 76 とする.このとき, t の値を求めよ.
(3) (2)の条件のもとで, ▵OCD の面積 S を求めよ.