2018　帯広畜産大学　前期総合問題MathJax

【１】　$2$点$(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\text{，}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$を直径の両端とする円を$C$とし，点$(1,-2)$を通り傾きが$-1$である直線を$L$とする．円$C$と直線$L$の交点を$\mathrm{A}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{B}(x_2,y_2)$とし，円$C$の円周上に点$\mathrm{P}(x_3,y_3)$をとる．円$C$の中心を$\mathrm{D}$とし，$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{DP}$のなす角を$\theta$とする．また，$x_1<x_2\text{，}{y}_3>-1-x_3\text{，}0\leqq \theta <2\pi$とする．次の各問に答えなさい．

問１(1)　円$C$と直線$L$の方程式をそれぞれ求めなさい．

(2)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{AB}$の長さと$\angle \mathrm{APB}$の大きさを求めなさい．

(4)　$\theta$の値の範囲を求めなさい．

問２　$\sin \theta$を用いて以下の(1)，(2)，(3)を表しなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標

(2)　線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BP}$の長さ

(3)　三角形$\mathrm{APB}$の面積

問３　$\sin 2\theta +2\sin \theta =0$とする．

(1)　$\theta$の値を求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{APB}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)=-{(x-1)}^2+2$とおく．$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$1$だけ平行移動した放物線を$y=g(x)$とする．曲線$C\text{：}y=|{\displaystyle \frac{1}{2}}f(x)|$と放物線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，連立不等式

$\{\begin{array}{c}y\leqq 2\\ y\geqq |{\displaystyle \frac{1}{2}}f(x)|\\ y\geqq g(x)\end{array}$

の表す領域の面積を$S_2$とする．次の各問に答えなさい．

問１　放物線$y=f(x)$の$x=t$における接線の傾きを$a\text{，}$切片を$b$とする．

(1)　放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．

(2)　$a\text{，}b$をそれぞれ$t$の式で表しなさい．

(3)　$b$が最小値をとるとき，$a\text{，}b\text{，}t$の値をそれぞれ求めなさい．

問２(1)　放物線$y=g(x)$の方程式を求めなさい．

(2)　曲線$C$と放物線$y=g(x)$のすべての共有点の座標を求めなさい．

(3)　曲線$C$と直線$y=2$のすべての共有点の座標を求めなさい．

(4)　$S_1\text{，}{S}_2$の値をそれぞれ求めなさい．