2018　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　ある臓器にできる$\stackrel{\text{しゅよう}}{\text{腫瘍}}\mathrm{X}$は悪性と良性の$2$つの型に分けられ，同時に両方の型であることはない．実際に$\mathrm{X}$がある人とない人の割合は$3\mathrm{\%}$と$97\mathrm{\%}$であり，$\mathrm{X}$がある人のうち，悪性の人と良性の人の割合は$1:2$である．そして，腫瘍$\mathrm{X}$があるかないかを調べる検査$\mathrm{Y}$について，次の事が知られている．

(ⅰ)　悪性の$\mathrm{X}$がある人に$\mathrm{Y}$が用いられると，$95\mathrm{\%}$の確率で$\mathrm{X}$があると判定される．

(ⅱ)　良性の$\mathrm{X}$がある人に$\mathrm{Y}$が用いられると，$80\mathrm{\%}$の確率で$\mathrm{X}$があると判定される．

(ⅲ)　$\mathrm{X}$がない人に$\mathrm{Y}$が用いられると，$90\mathrm{\%}$の確率で$\mathrm{X}$がないと正しく判定される．

ある人が，この検査$\mathrm{Y}$を受けることになった．このとき，次の確率を求めよ．

問１　この人に$\mathrm{X}$があると判定される確率

問２　$\mathrm{X}$があると判定されたとき，悪性の$\mathrm{X}$が実際にある確率

問３　悪性の$\mathrm{X}$が実際にないとき，$\mathrm{X}$がないと判定される確率

【２】　$n$を正の整数とし，$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で$f(x)=\sin x\text{，}g(x)=\sin x{\sin }^{2}nx$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　曲線$y=g(x)$と$x$軸が囲む部分の面積を求めよ．

問２　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の共有点のうち，共通の接線をもつすべての点の座標を求めよ．

問３　問２で求めたすべての接点の$y$座標の値の平均を$A_n$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$を求めよ．

【３】　$a$は実数で$a>1$とし，曲線$y=\log x$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\log a)\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{a}},\log {\displaystyle \frac{1}{a}})$をとる．直線$\mathrm{AB}$と曲線$y=\log x$で囲まれた部分の面積を$S$とし，直線$\mathrm{AB}\text{，}x$軸，直線$x={\displaystyle \frac{1}{a}}$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$T$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$S\text{，}T$を$a$を用いて表せ．

問２　次の極限値を求めよ．ただし，(3)において必要であれば

$x>0$のとき，$\log (1+x)<x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$

が成り立つことを証明なしで用いてよい．

(1)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S}{T}}$	(2)　$\underset{a\to 1+0}{\lim }{\displaystyle \frac{T}{{(a-1)}^2}}$
(3)　$\underset{a\to 1+0}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{{(a-1)}^2}}$	(4)　$\underset{a\to 1+0}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{T}}$

問３　$a>1$の範囲で，${\displaystyle \frac{S}{T}}$は単調に増加することを示せ．

問４　$S=T$となる$a$が$e^{\frac{3}{2}}<a<e^2$の範囲に$\stackrel{\text{ただ}}{\text{唯}}1$つあることを示せ．ただし，$e$は自然対数の底で$e=2.7182\cdots$である．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{7}$とする．$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と反対側に点$\mathrm{S}$を$▵\mathrm{ASB}$が正三角形となるようにとる．また，$\mathrm{BC}$に関して$\mathrm{A}$と反対側に点$\mathrm{T}$を$▵\mathrm{BTC}$が正三角形となるようにとる．さらに$▵\mathrm{ASB}$の外接円と$▵\mathrm{BTC}$の外接円との交点のうち，$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを求めよ．

問２　$▵\mathrm{PAB}\backsim ▵\mathrm{PBC}$であることを示し，$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}\text{，}\mathrm{CP}$の長さをそれぞれ求めよ．

問３　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．