2018　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　複素数$z$が方程式

$z\bar{z}+(1+2i)z+(1-2i)\bar{z}+4=0$

を満たしながら動くとき，$|z-2|$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(6,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-3,3\sqrt{3},0)$をとる．

(1)　直線$\mathrm{AB}$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が

$\mathrm{PQ}=6\text{，}\angle \mathrm{POQ}=90\mathrm{°}$

を満たすとする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標より大きいとする．このとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は(1)で求めた$2$点とする．点$\mathrm{R}$を中心とし半径$5$の球面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があるとする．このような点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2^k}}}$で定義される数列$\{a_n\}$の極限を求めよ．

(2)　$a>0\text{，}b>0$のとき，

$a+b-\sqrt{2ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b$

が成り立つことを示せ．

(3)　$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4^k}}+{\displaystyle \frac{1}{{(n+k)}^2}}}$で定義される数列$\{b_n\}$の極限を求めよ．