2018　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$進法で${11101011}_{(2)}$と表される数を$5$進法で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$1$個のさいころを投げて出た目を$a$とするとき，$2$次方程式

$x^2-ax+2a-3=0$

が実数の解をもつ確率を求めよ．

【２】　初項が$5$である等差数列$\{a_n\}$と，初項が$2$である等比数列$\{b_n\}$がある（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．数列$\{c_n\}$が$c_n=a_n-b_n\text{，}{c}_2=5\text{，}{c}_3=-1\text{，}{c}_4=-31$で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の公差$d$と数列$\{b_n\}$の公比$r$を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【３】　ある自然数の$3$乗になっている数を立方数と呼ぶことにする．例えば，$1=1^3\text{，}8=2^3\text{，}216=6^3=2^3\cdot 3^3$などは立方数である．自然数$m=25920$について，次の問いに答えよ．

(1)　$mn$が立方数となる最小の自然数$n$を求めよ．

(2)　$m$の正の約数で，かつ立方数であるものの個数を求めよ．

(3)　$2^{k}m$の正の約数で，かつ立方数であるものが$12$個となるような自然数$k$のうち，最大のものを求めよ．

【４】　$x<0$の範囲において，直線$l$が

放物線$C_1\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-r$と円$C_2\text{：}{x}^2+y^2=r^2$

の両方に接している．ただし，$r>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　円$C_2$に接する直線の方程式を$ax+by+c=0$とするとき，$r$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．ただし$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．

(2)　$r=1$のとき，直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$r=1$のとき，直線$l$と放物線$C_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　曲線$C\text{：}y=\log 2x$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)　原点を通り，曲線$C$に接する直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　設問(1)で求めた接線$l$と$x$軸および曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数，$\theta$を実数とする．$\sin \{(n+1)\theta \}+\sin \{(n-1)\theta \}$を$\sin (n\theta )\text{，}\cos \theta$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=x-\sqrt{x^2}$は$x=0$で微分可能でないことを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^3\log xdx$を求めよ．

【２】　座標空間内の$3$点を$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,1,0)\text{，}\mathrm{B}(-2,1,2)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直で大きさが$3$のベクトル$\overrightarrow{c}$をすべて求めよ．

(2)　設問(1)の$\overrightarrow{c}$に平行な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$をすべて求めよ．

(3)　設問(2)で求めた単位ベクトル$\overrightarrow{u}$に平行で点$\mathrm{O}$を通る直線を$m$とする．

　点$\mathrm{D}(3,1,2)$から直線$m$に引いた垂線の交点を$\mathrm{K}$としたとき，点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{K}$までの長さを求めよ．

【３】　$1$から$200$までの自然数からなる項数が$6$の等差数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_6$は，初項から第$6$項までの和が$748$となる．この等差数列の初項を$a\text{，}$公差を$d$とし，次の問いに答えよ．ただし，$a$と$d$はいずれも自然数とする．

(1)　$a$と$d$の間に成り立つ等式を求めよ．

(2)　この条件を満たす数列を$1$つ求めよ．また，求めた数列の初項$a$と公差$d$を記せ．

(3)　この条件を満たす数列はいくつあるか答えよ．なお，答えを導く過程も記すこと．

【４】　円$C\text{：}{x}^2+y^2+ax-4\sqrt{3}y+4=0$上の点$\mathrm{A}(1,\sqrt{3})$における接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　円$C$の中心の座標と半径を求めよ．

(3)　接線$l$の方程式を求めよ．

【５】　$a$を整数とする．整式

$F(x)=x^4+(a+1)x^3+(2a+4)x^2+(a+5)x+1$

について，次の問いに答えよ．

(1)　整式$F(x)$が$1$次式$x+1$を因数にもつことを示せ．

(2)　$F(x)=(x+1)G(x)$を満たす$G(x)$を求めよ．

(3)　$G(x)$の解の$1$つが整数であるとき，$a$の値を求めよ．