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2018-10101-0101
2018 秋田大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(ⅰ) 方程式 x 3+a⁢ x2+26 ⁢x-24= 0 が x =2 を解にもつとき,定数 a の値を求めよ.また,他の解をすべて求めよ.
2018-10101-0102
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(ⅱ) 3 本の当たりくじを含む 10 本のくじがある.最初に 1 本引き,もとに戻さないで次に 1 本引くとき, 2 本とも当たる確率を求めよ.
2018-10101-0103
(ⅲ) 次の 3 つの値の大小を,不等号 < を用いて表せ.
log1 2⁡ 7 2 ,log 12 ⁡11 , log1 2⁡ 10 3
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(ⅳ) 次の和を求めよ.
1⋅2 +2⋅3 +3⋅4 +⋯+20 ⋅21
2018-10101-0105
【2】 放物線 C :y=2 ⁢x2 とその接線について,次の問いに答えよ.
(ⅰ) 点 ( t,2⁢ t2 ) における接線の方程式を, t を用いて表せ.
(ⅱ) 点 ( 0,-2 ) を通る 2 本の接線の方程式を求めよ.
(ⅲ) 放物線 C と(ⅱ)の 2 本の接線とで囲まれた部分の面積 S を求めよ.
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【3】 xy 平面上で.連立不等式 2 ⁢x+y ≧-8 , x-y ≦2 ,y≦ 2 の表す領域を D とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 領域 D を図示せよ.
(ⅱ) 領域 D 内の点 ( x,y ) に対して, x+2⁢ y の最小値を求めよ.
(ⅲ) 円 x 2+2⁢ x+y2 =k 上のすべての点が領域 D に含まれるような定数 k について,その k の最大値を求めよ.
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【4】 原点を O とする座標平面上に 2 点 A ( 2,1 ), B (1 ,2) をとる.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 点 C ( 3,4 ) に対して, OC→ を OA→ , OB→ を用いて表せ.
(ⅱ) 点 D を OD→ =t⁢ OB→ ( t は実数)を満たす点とする. AD→ と OA → が直交するように t の値を定めよ.
(ⅲ) 点 P を直線 OA 上の点とする.(ⅱ)で定めた点 D に対して, OD→ と DP → の内積が負となるような点 P の存在範囲を座標平面上に図示せよ.
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【5】 f⁡( x)= sin⁡x- 3⁢cos ⁡x とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 0≦x <2⁢π のとき, f⁡( x)= -1 を満たす x の値を求めよ.
(ⅱ) y=f⁡ (x ) のグラフが, y=a⁢ sin⁡x のグラフを x 軸方向に b だけ平行移動したグラフになるとき,定数 a , b の値を 1 組求めよ.ただし, a>0 かつ - π<b≦ π とする.
(ⅲ) 定数 c , d に対して, g⁡( x)= c⁢sin⁡ x+d⁢ cos⁡x とする.どのような x に対しても { f⁡( x) }2 +{ g⁡( x) }2 =4 が成り立つように,定数 c , d の値を 2 組定めよ.
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【6】 関数 f ⁡(x )= x 1+x2 について,次の問いに答えよ.
(ⅰ) f ⁡(x ) の極値と,そのときの x の値を求めよ.
(ⅱ) y=f ⁡(x ) のグラフの各点における接線を考える.点 ( a,f ⁡(a ) ) における接線に対して,これと平行な接線が他に 3 本存在するように,定数 a の値の範囲を定めよ.ただし, y=f ⁡(x ) のグラフのどの接線も, 2 つ以上の接点をもたないことがわかっている.
2018-10101-0110
【7】 1 から 20 までの番号が 1 つずつ書かれた 20 枚のカードが箱に入っている.箱から 1 枚ずつカードを取り出す.ただし,取り出したカードはもとに戻さない.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 続けて 5 枚取り出すとき,カードの番号が,偶数,奇数,偶数,偶数,奇数の順番となる確率を求めよ.
(ⅱ) 続けて 5 枚取り出すとき,そのうちちょうど 3 枚のカードの番号が偶数となる確率を求めよ.
(ⅲ) 奇数番号のカードのうち 3 枚,偶数番号のカードのうち 6 枚が,赤く塗られているとする.この 20 枚のカードから続けて 3 枚取り出したところ,ちょうど 2 枚が赤であった.このとき,カードの番号が,偶数,奇数,偶数の順番で取り出された確率を求めよ.
2018-10101-0111
【8】 複素数 α が α2+ α+2= 0 を満たすとする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) (α 3-2⁢ α2- 1)⁢ (α 4-2⁢ α3- 5⁢α+ 5)= A⁢α+ B を満たす実数 A , B の値を 1 組求めよ.
(ⅱ) α3- 2⁢α 2-1 α5 +α4 +α3 -α2 -α-1 =C ⁢α+D を満たす実数 C , D の組を 1 組求めよ.
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【9】 複素数 z1 ,z2 が |z 1|= |z2 |=1 を満たすとする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) z1 +z2 = 32 を満たす z1 ,z2 を求めよ.
(ⅱ) z1+ z2= 32 ⁢( 12 + 32 ⁢ i) を満たす z 1 ,z2 を求めよ.
(ⅲ) 複素数 α を |α |=1 を満たす定数とする.このとき, z1+ z2=2 +α を満たす z1 ,z2 が存在するような α について,そのような α 全体が複素数平面上に描く図形を図示せよ.
志望別問題選択一覧
国際資源学部 【1】,【4】,【5】,【6】
教育文化(理数教育コース除く)学部 【1】,【2】,【3】,【4】
教育文化(理数教育コース)学部 【1】,【4】,【5】,【6】
医学部 【6】,【7】,【8】,【9】
理工学部 【1】,【4】,【5】,【6】