2018　秋田大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$x^3+a{x}^2+26x-24=0$が$x=2$を解にもつとき，定数$a$の値を求めよ．また，他の解をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$3$本の当たりくじを含む$10$本のくじがある．最初に$1$本引き，もとに戻さないで次に$1$本引くとき，$2$本とも当たる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　次の$3$つの値の大小を，不等号$<$を用いて表せ．

${\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{7}{2}}\text{，}{\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{11}\text{，}{\log }_{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{10}{3}}$

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　次の和を求めよ．

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +20\cdot 21$

【２】　放物線$C\text{：}y=2x^2$とその接線について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$(t,2t^2)$における接線の方程式を，$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$(0,-2)$を通る$2$本の接線の方程式を求めよ．

(ⅲ)　放物線$C$と(ⅱ)の$2$本の接線とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　$xy$平面上で．連立不等式$2x+y\geqq -8\text{，}x-y\leqq 2\text{，}y\leqq 2$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　領域$D$を図示せよ．

(ⅱ)　領域$D$内の点$(x,y)$に対して，$x+2y$の最小値を求めよ．

(ⅲ)　円$x^2+2x+y^2=k$上のすべての点が領域$D$に含まれるような定数$k$について，その$k$の最大値を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2)$をとる．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{C}(3,4)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$t$は実数）を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が直交するように$t$の値を定めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$を直線$\mathrm{OA}$上の点とする．(ⅱ)で定めた点$\mathrm{D}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DP}}$の内積が負となるような点$\mathrm{P}$の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

【５】　$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0\leqq x<2\pi$のとき，$f(x)=-1$を満たす$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフが，$y=a\sin x$のグラフを$x$軸方向に$b$だけ平行移動したグラフになるとき，定数$a\text{，}b$の値を$1$組求めよ．ただし，$a>0$かつ$-\pi <b\leqq \pi$とする．

(ⅲ)　定数$c\text{，}d$に対して，$g(x)=c\sin x+d\cos x$とする．どのような$x$に対しても${\{f(x)\}}^2+{\{g(x)\}}^2=4$が成り立つように，定数$c\text{，}d$の値を$2$組定めよ．

【６】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の極値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフの各点における接線を考える．点$(a,f(a))$における接線に対して，これと平行な接線が他に$3$本存在するように，定数$a$の値の範囲を定めよ．ただし，$y=f(x)$のグラフのどの接線も，$2$つ以上の接点をもたないことがわかっている．

【７】　$1$から$20$までの番号が$1$つずつ書かれた$20$枚のカードが箱に入っている．箱から$1$枚ずつカードを取り出す．ただし，取り出したカードはもとに戻さない．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　続けて$5$枚取り出すとき，カードの番号が，偶数，奇数，偶数，偶数，奇数の順番となる確率を求めよ．

(ⅱ)　続けて$5$枚取り出すとき，そのうちちょうど$3$枚のカードの番号が偶数となる確率を求めよ．

(ⅲ)　奇数番号のカードのうち$3$枚，偶数番号のカードのうち$6$枚が，赤く塗られているとする．この$20$枚のカードから続けて$3$枚取り出したところ，ちょうど$2$枚が赤であった．このとき，カードの番号が，偶数，奇数，偶数の順番で取り出された確率を求めよ．

【８】　複素数$\alpha$が${\alpha }^2+\alpha +2=0$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$({\alpha }^3-2{\alpha }^2-1)({\alpha }^4-2{\alpha }^3-5\alpha +5)=A\alpha +B$を満たす実数$A\text{，}B$の値を$1$組求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{{\alpha }^3-2{\alpha }^2-1}{{\alpha }^5+{\alpha }^4+{\alpha }^3-{\alpha }^2-\alpha -1}}=C\alpha +D$を満たす実数$C\text{，}D$の組を$1$組求めよ．

【９】　複素数$z_1\text{，}{z}_2$が$\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$z_1+z_2={\displaystyle \frac{3}{2}}$を満たす$z_1\text{，}{z}_2$を求めよ．

(ⅱ)　$z_1+z_2={\displaystyle \frac{3}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i)$を満たす$z_1\text{，}{z}_2$を求めよ．

(ⅲ)　複素数$\alpha$を$\left|\alpha \right|=1$を満たす定数とする．このとき，$z_1+z_2=2+\alpha$を満たす$z_1\text{，}{z}_2$が存在するような$\alpha$について，そのような$\alpha$全体が複素数平面上に描く図形を図示せよ．

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