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2018 茨城大学 前期

教育学部

易□ 並□ 難□

【1】  1 辺の長さが 1 の正五角形 ABCDE において,辺 BC の中点を P とし, AB =a AE =b とする.次の各問に答えよ.ただし,必要なら cos 36 ° = 5+1 4 を用いてもよい.

(1) 線分 AC の長さを求めよ.

(2)  AC a b を用いて表せ.

(3) 線分 AC と線分 PD の交点を H とするとき, AH:AC を求めよ.

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教育学部

易□ 並□ 難□

【2】 方程式 2 sin2 θ-cos 2θ +23 sin θ+a= 0 について,次の各問に答えよ.ただし, a を実数とし, 0θ <2π とする.

(1)  a=1 のとき, θ の値を求めよ.

(2) この方程式が解をもつとき, a のとり得る値の範囲を求めよ.

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教育学部

易□ 並□ 難□

【3】  a を実数とする.曲線 C1 y=x3 -5x -7 曲線 C 2y= ax2- 4 は共有点をちょうど 2 個もつ.それらのうちの 1 点における C 1 の接線と C 2 の接線が一致し,その接線を l とする. C1 および l で囲まれた図形の面積を S 1 とし, C2 l および直線 x =2 で囲まれた図形の面積を S 2 とする.次の各問に答えよ.

(1)  a の値を求めよ.

(2)  S 1S2 を求めよ.

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教育学部

易□ 並□ 難□

【4】 袋の中に赤玉 4 個,白玉 3 個,青玉 2 個が入っている.袋の中から玉を 1 個ずつ取り出し,どの色の玉も 1 個以上取り出された時点で取り出すのを終了する.次の各問に答えよ.ただし,取り出した玉は,もとに戻さないものとする.

(1)  3 個目を取り出して終了する確率を求めよ.

(2)  8 個目を取り出して終了する確率を求めよ.

(3)  7 個目を取り出して終了したとき,袋の中に白玉が残っていない確率を求めよ.

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理学部

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【1】 関数 f (x ) は次の等式を満たすとする.

f (x )= 1x log tdt+ 13f (t )d t x1

曲線 y =f (x ) x1 C とし,曲線 C 上の点 ( 3,f (3 )) における接線を l とする.以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数とする.

(1)  a= 13f (t )d t とおく. a の値と関数 f (x ) を求めよ.

(2) 曲線 C の凹凸を調べよ.

(3) 接線 l の方程式を求めよ.

(4) 曲線 C 接線 l および直線 x =1 で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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理学部

易□ 並□ 難□

【2】  a b c を正の数とし,座標空間において 4 O ( 0,0, 0) A (0 ,2b ,2c ) B (2 a,0,2 c) C (2 a,2 b,0 ) を頂点とする四面体 OABC を考える.四面体 OABC の体積を V とし,半径 R の球面が四面体 OABC 4 つの頂点を通るとする.以下の各問に答えよ.

(1) 点 M (a ,b,c ) に関して,点 A B C O と対称な点をそれぞれ点 D E F G とする.点 D E F G の座標をそれぞれ a b c を用いて表せ.

(2)  V R をそれぞれ a b c を用いて表せ.

以下では,さいころを 2 回投げて,出た目を順に a b とする.また, c=2 とする.ただし,さいころは 1 から 6 までのどの目も出る確率は 16 である.

(3)  V が整数となる確率 p 1 を求めよ.また, R が整数となる確率 p 2 を求めよ.

(4)  V が整数となったときに, R が整数となる確率 p 3 を求めよ.

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理学部

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【3】  k を正の数とする. 2 つの曲線

C1 y=k cosx C2 y= sinx

を考える. C1 C 2 0 x2 π の範囲に交点が 2 つあり,それらの x 座標をそれぞれ α β α<β とする.区間 α xβ において, 2 つの曲線 C 1 C2 で囲まれた図形を D とし,その面積を S とする.さらに D のうち, y0 の部分の面積を S1 y 0 の部分の面積を S 2 とする.以下の各問に答えよ.

(1)  cosα sinα cosβ sinβ をそれぞれ k を用いて表せ.

(2)  S k を用いて表せ.

(3)  3S 1=S 2 となるように k の値を定めよ.

(4) 極限 limk S 1 を求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(1) 関数 y =log( 2x+4 ) を微分せよ.ただし,対数は自然対数である.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(2) 関数 f (x ) f (x )=cos xcos 2x で定める.このとき, f (x ) の第 2 次導関数 f (x ) x =0 における値 f (0 ) を求めよ.

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工学部

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【1】 以下の各問に答えよ.

(3) 次の曲線や直線とで囲まれた図形を, y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ.

y=- 12 x3+ 12 x 軸, y

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工学部

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【2】 複素数平面上で,等式 | z-2- 2i 1-i |=1 を満たす点 z 全体が描く図形を C とする.ただし, i は虚数単位である.以下の各問に答えよ.

(1) 図形 C を複素数平面上に図示せよ.

(2)  z C 上を動くとき, |z | の最大値 M とそのときの z の値を求めよ.ただし, z の値は sin cos を用いずに答えること.

(3)  z の偏角 arg z 0 argz <2π の範囲で考える. z C 上を動くとき, argz の最大値 m とそのときの z の値を求めよ.ただし, z の値は sin cos を用いずに答えること.

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工学部

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【3】 以下の各問に答えよ.

(1) 実数 θ 0 <θ< π 4 を満たすとする.このとき, tan2 θ tan θ を使って表せ.答えのみを書けばよい.

(2)  2 つの実数 α β はそれぞれ,

0<α < π4 0<β <π 2

を満たすとする.次の(ⅰ)と(ⅱ)の各命題に対して,その真偽を述べよ.また,真ならば証明し,偽ならば反例を示せ.

(ⅰ)  tanα が無理数ならば, tan2 α は無理数である.

(ⅱ)  tanβ が無理数ならば, tan β 2 は無理数である.

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工学部

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【4】 関数 f (x ) f (x )= xx2 +1 で定める.以下の各問に答えよ.

(1)  2 つの極限 limx f (x ) および limx -f (x ) を求めよ.

(2) 関数 y=f (x ) の増減および極値を求めよ.

(3) 座標平面上の 2 つの曲線 C1 y=f (x ) C2 y=f (x -2) の交点の x 座標をすべて求めよ.

(4) 前問(3)で定めた 2 曲線 C 1 C 2 で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

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