2018　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　大中小$3$個のさいころを同時に投げて，出る目をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．この$a\text{，}b\text{，}c$に対し$f(x)=a{x}^2+bx+c$とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　方程式$f(x)=0$が，$1$つの実数解（重解）をもつ確率を求めよ．

問２　方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．

問３　方程式$f(x)=0$が，実数解をもたない確率を求めよ．

問４　方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，かつ${\alpha }^2+{\beta }^2$が整数となる確率を求めよ．

【２】　$\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}$である$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上の点を$\mathrm{Q}\text{，}$また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PCQ}=90\mathrm{°}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=d$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\cdot \overrightarrow{a}$を$d$の式で表せ．

問３　$(\overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$d$の式で表せ．

問４　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は，初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列，数列$\{b_n\}$は，初項$b\ne 0\text{，}$公比$r\ne 0$の等比数列とする．

$S={\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}+{\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}+{\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$

とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$r=1$とする．$S$を$a\text{，}b\text{，}d\text{，}n$の式で表せ．

問２　$r\ne 1\text{，}d=0$とする．$S$を$a\text{，}b\text{，}r\text{，}n$の式で表せ．

問３　$r\ne 1$とする．$S$を$a\text{，}b\text{，}d\text{，}r\text{，}n$の式で表せ．

問４　$a=1\text{，}b=1\text{，}d=2\text{，}r=3$とする．$S$を$n$の式で表せ．

【４】　座標平面上の曲線$y=x^2$を$C$とし，$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2)$を$C$上の$2$点とする．点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}(u,v)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha <\beta$とする．

問１　$u\text{，}v$を，それぞれ$\alpha \text{，}\beta$の式で表せ．

問２　点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$C$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$C$と直線$l$および直線$\mathrm{PQ}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C$と直線$\mathrm{BQ}$とで囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を$\alpha \text{，}\beta$の式で表せ．

問３　曲線$y=-x^3+4x^2-5\text{（}x>0\text{）}$を$M$とする．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{M}$上にあるとき，${(\beta -\alpha )}^2$の最小値を求めよ．

問４　点$\mathrm{P}$が問３で定めた曲線$M$上にあるとき，問２で定めた$S$の最小値を求めよ．

【５】　$f(t)=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}-2\text{（}t>0\text{），}g(t)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}(t-{\displaystyle \frac{1}{t}})\text{（}t>0\text{）}$とする．媒介変数表示$x=f(t)\text{，}y=g(t)$で表される座標平面上の曲線を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\underset{t\to +0}{\lim }\{g(t)-af(t)-b\}=0$となるように定数$a\text{，}b$の値を定めよ．

問２　曲線$C$の方程式を求め，曲線$C$の概形をかけ．

問３　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(f(t),g(t))$について，定点$\mathrm{A}(-7,5\sqrt{3})$からの距離$\mathrm{AP}$の$2$乗を$F(t)$とする．$F(t)$を$t$の式で表せ．

問４　$F(t)$を最小にする$t$の値と，そのときの距離$\mathrm{AP}$を求めよ．

【６】　原点を中心とする半径$a$の球$x^2+y^2+z^2=a^2$と平面$z=p\text{（}0<p<a\text{）}$が交わってできる円を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$C$と平面$x=t$が共有点をもつための$t$の範囲を，$a\text{，}p$を用いて表せ．

問２　$t$が問１で求めた範囲を動く．$C$と平面$x=t$が$2$つの共有点をもつとき，$2$つの共有点と点$(t,0,0)$の$3$点を頂点とする三角形の面積$S$を，$a\text{，}p\text{，}t$を用いて表せ．

問３　$t$が問１で求めた範囲を動く．問２で求めた三角形が通過してできる立体の体積$V$を，$a\text{，}p$を用いて表せ．

問４　問３で求めた$V$の最大値を，$a$を用いて表せ．

志望別問題選択一覧

地域デザイン科（コミュニティデザイン学科），教育（学校教育・特別支援教育系，教科文系，教科理系）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

地域デザイン科（建築都市デザイン，社会基盤デザイン学科）学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

工（機械システム工，電気電子工，情報工学科）学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

農（生物資源科，農業環境工，農業経済，森林科学科）学部　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】