2018　宇都宮大学　教育学部数学分野推薦小論文MathJax

2018　宇都宮大学　教育学部数学分野推薦小論文

易□　並□　難□

【１】　曲線 $y = f (x)$ は点 $(1, 0)$ を通り，この曲線上の点 $(x, y)$ における接線の傾きは $2 x + 1$ である．このとき，次の問いに答えよ．

問１　関数 $f (x)$ を求めよ．

問２　直線 $y = x + 2$ と曲線 $y = f (x)$ の交点の座標を求めよ．

問３　 $- 2 < t < 2$ とする． $3$ 点 $A (2, 4) ， P (t, t + 2) ， Q (t, f (t))$ を頂点とする三角形の面積を $S (t)$ とするとき， $S (t)$ を $t$ の式で表せ．

問４　 $- 2 < t < 2$ とする．問３で定めた $S (t)$ の最大値を求めよ．

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【２】　次の問いに答えよ．

問１　 $| a | < 1 ， | b | < 1$ とするとき，不等式 $a + b - a b < 1$ を証明せよ．

問２　 $| a | < 1 ， | b | < 1 ， | c | < 1$ とするとき，不等式 $a + b + c - a b c < 2$ を証明せよ．このとき，問１の結果を用いてもよい．

問３　 $| a | < 1 ， | b | < 1 ， | c | < 1 ， | d | < 1$ とするとき，不等式 $a + b + c + d - a b c d < 3$ を証明せよ．このとき，問２の結果を用いてもよい．

問４　問１，問２，問３から類推して，証明問題を $1$ つ作り，それを証明せよ．このとき，問１，問２，問３の結果を用いてもよい．

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【３】　座標平面上の $▵ AOB$ について， $\vec{OA} = \vec{a} = (a_{1}, a_{2}) ，$ $\vec{OB} = \vec{b} = (b_{1}, b_{2})$ とするとき，次の問いに答えよ．

問１　 $\vec{OP} = s \vec{a} + t \vec{b}$ とする．実数 $s ， t$ が条件 $s + t = 2 ，$ $s ≧ 0 ，$ $t ≧ 0$ をみたしながら動くとき，点 $P$ の存在範囲を図示せよ．

問２　辺 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点を $D ，$ 辺 $OB$ の中点を $E$ とし，線分 $AE ， BD$ の交点を $Q$ とするとき， $\vec{OQ}$ を $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ を用いて表せ．

問３　辺 $AB$ の中点を $M$ とするとき， ${OA}^{2} + {OB}^{2} = 2 ({OM}^{2} + {BM}^{2})$ を証明せよ．

問４　 $▵ OAB$ の面積を $S$ とするとき

$S = \frac{1}{2} \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}} = \frac{1}{2} | a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} |$

であることを示せ．

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【４】次の問いに答えよ．

問１　 $A$ くんは， $n$ 角形の内角の和の求め方を，次のように考えた．

$n$ 角形を， $1$ つの頂点から出る対角線で，いくつかの三角形に分けて考えた．

2018年宇都宮大後期教育学部推薦【４】問１2018101810204の図

$A$ くんとは別の考え方を考え， $n$ 角形の内角の和の求め方を説明せよ．

問２　数学の授業の中で，別解を考えることの意義について，あなたの経験を踏まえて $600$ 字以内で述べよ．