2018　群馬大学　前期MathJax

【１】　$a\ne 0$とし，放物線$y=a{(x-1)}^2+{\displaystyle \frac{1}{a}}$を$C\text{，}$直線$y=x$を$L_1$とする．また，点$(1,0)$を通り傾き$m$の直線を$L_2$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と直線$L_1$が異なる$2$点で交わるように$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)において，放物線$C$が直線$L_1$から切り取る線分の長さを$l$とする．$\sqrt{2}\leqq l\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{5}{2}}}$となるように，$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　放物線$C$と直線$L_2$が接するとき，$m$は$a$に無関係な値となることを示せ．またそのときの接点の座標を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1\text{，}\angle \mathrm{ABC}=2\theta \text{，}\angle \mathrm{ACB}=\theta$であるとする．$\mathrm{AB}$の長さを$x\text{，}\mathrm{AC}$の長さを$y$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{y}{x}}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$x\cos 2\theta +y\cos \theta$は$\theta$に無関係な値であることを示せ．

(3)　$x\text{，}y$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　$x=f(\theta )\text{，}y=g(\theta )$とするとき，$xy$平面における曲線$x=f(\theta )\text{，}y=g(\theta )$上の点$(f({\displaystyle \frac{\pi }{6}}),g({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\left)\right)$での接線の方程式を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x{e}^{-x}$について以下の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$について，不等式$f(x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{e}}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$2$直線$x=0\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{e}}$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．

(3)　(2)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．最初に$\mathrm{A}$には白球$2$個と赤球$1$個，$\mathrm{B}$には白球$2$個が入っている．次のステップで球を移動する．

ステップ$1$：$\mathrm{A}$から$1$個を取り$\mathrm{B}$に入れる．

ステップ$2$：$\mathrm{B}$から$1$個を取り$\mathrm{A}$に入れる．

ステップ$3$：$\mathrm{A}$から$1$個を取り$\mathrm{B}$に入れる．

ステップ$4$：$\mathrm{B}$から$1$個を取り$\mathrm{A}$に入れる．

以下同様に，ステップ$100$までを行う．

　自然数$n\text{（}1\leqq n\leqq 50\text{）}$に対し$P_n$を『ステップ$2n-1$までは$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も中が白球$3$個にならず，ステップ$2n$で初めて$\mathrm{A}$の中が白球$3$個になる』確率とする．このとき以下の問いに答えよ，

(1)　$P_1\text{，}{P}_2$および$P_n$をそれぞれ求めよ．

(2)　$P_1+P_2+P_3+\cdots +P_n$を求めよ．

(3)　$P_1+2P_2+3P_3+\cdots +n{P}_n$を求めよ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$において$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{c}\text{（}0<t<1\text{）}$とする．さらに$▵\mathrm{ABP}$と線分$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{X}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=s\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{（}0<s<1\text{）}$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と$t\text{，}s$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{X}$を結ぶ直線と線分$\mathrm{AB}$との交点$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{AB}$の中点であることを証明せよ．

(3)　$s={\displaystyle \frac{6}{7}}$のとき，$t$の値を求めよ．

【１】　$a\ne 0$とし，放物線$y=a{(x-1)}^2+{\displaystyle \frac{1}{a}}$を$C\text{，}$直線$y=x$を$L_1$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$と直線$L_1$が異なる$2$点で交わるように$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)において，放物線$C$が直線$L_1$から切り取る線分の長さを$l$とする．$\sqrt{2}\leqq l\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{5}{2}}}$となるように，$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$の接線の傾きの最小値は$0$である．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$b={\displaystyle \frac{a^2}{2}}$であることを示せ．

(2)　曲線$C$を平行移動すると曲線$y=x^3$に一致することを示せ．

(3)　$a=3$のとき，曲線$C$上の点$(-2,f(-2))$における接線と曲線$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　$xy$平面上で，自然数$n$に対し単位円上の点$(\cos (\sqrt{2}\pi n),\sin (\sqrt{2}\pi n))$を${\mathrm{P}}_n$とおく．原点を$\mathrm{O}$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$▵{\mathrm{OP}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を求めよ．

(2)　自然数$n$と$m$が異なるならば，点${\mathrm{P}}_n$と${\mathrm{P}}_m$は異なることを示せ．

【４】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．最初に$\mathrm{A}$には白球$2$個と赤球$1$個，$\mathrm{B}$には白球$2$個が入っている．次のステップで球を移動する．

ステップ$1$：$\mathrm{A}$から$1$個を取り$\mathrm{B}$に入れる．

ステップ$2$：$\mathrm{B}$から$1$個を取り$\mathrm{A}$に入れる．

ステップ$3$：$\mathrm{A}$から$1$個を取り$\mathrm{B}$に入れる．

ステップ$4$：$\mathrm{B}$から$1$個を取り$\mathrm{A}$に入れる．

以下同様に，ステップ$100$までを行う．

　自然数$n\text{（}1\leqq n\leqq 50\text{）}$に対し$P_n$を『ステップ$2n-1$までは$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も中が白球$3$個にならず，ステップ$2n$で初めて$\mathrm{A}$の中が白球$3$個になる』確率とする．このとき以下の問いに答えよ，

(1)　$P_1\text{，}{P}_2$および$P_n$をそれぞれ求めよ．

(2)　$P_1+P_2+P_3+\cdots +P_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{1643}{6573}}<{\mathrm{P}}_1+{\mathrm{P}}_2+\cdots +{\mathrm{P}}_n$を満たす自然数$n$のうち最小のものを求めよ．

【１】　$xy$平面上で，自然数$n$に対し単位円上の点$(\cos (\sqrt{2}\pi n),\sin (\sqrt{2}\pi n))$を${\mathrm{P}}_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$と$m$が異なるならば，点${\mathrm{P}}_n$と${\mathrm{P}}_m$は異なることを示せ．

(2)　$x\geqq -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$の範囲に属する点${\mathrm{P}}_n$は無限に多く存在することを示せ．

【３】　$t=\cos \theta$とする．自然数$n$について，ド・モアブルの定理${(\cos \theta +i\sin \theta )}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$が成り立つことにより$\cos n\theta$を$t$の$n$次多項式として表すことができる．この多項式を$f_n(t)$とし，変数$t$についての$f_n(t)$の導関数を${f_n}^{\prime }(t)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$f_6(t)$を求めよ．

(2)　自然数$m$について$f_{2m}(t)$の$t^{2m}$の係数を求めよ．

(3)　${f_n(t)}^2+(1-t^2){\{{\displaystyle \frac{1}{n}}{f_n}^{\prime }(t)\}}^2=1$が成り立つことを示せ．

【４】　$a^2+b^2=c^2$を満たす$3$つの自然数$a\text{，}b\text{，}c$の組$(a,b,c)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$の差は$1$であり，$b$と$c$の差が$1$であるとき$(a,b,c)$の組をすべて求めよ．

(2)　$b$は$2$の累乗であり，$b$と$c$の差が$1$であるとき$(a,b,c)$の組をすべて求めよ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$において$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{c}\text{（}0<t<1\text{）}$とする．さらに$▵\mathrm{ABP}$と線分$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{X}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=s\overrightarrow{\mathrm{OG}}\text{（}0<s<1\text{）}$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と$t\text{，}s$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{X}$を結ぶ直線と線分$\mathrm{AB}$との交点$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{AB}$の中点であることを証明せよ．

(3)　$▵\mathrm{OMC}$において$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{X}$を結ぶ直線と線分$\mathrm{OM}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{NX}:\mathrm{XC}=2:5$のとき$t$と$s$の値を求めよ．