2018　群馬大学　推薦教育学部小論文MathJax

【１】　自然数の$2$乗である数を平方数という．自然数$k$に対して$2k-1$という形の奇数を$k$番目の奇数と呼ぶことにする．

(1)　$n$を自然数とする．$1$番目から$n$番目までの連続する奇数の和$1+3+\cdots +(2n-1)$は$n^2$に等しいことを示せ．

(2)　自然数$N$に対する次の命題(A)，(B)，(C)は互いに同値であることを示せ．

(A)　$N$は平方数であるか，$2$つの平方数の差に等しい．

(B)　$N$は奇数であるか，$4$の倍数である．

(C)　$N$は奇数であるか，（$1$番目から始まるとは限らない）連続する正の奇数の和に等しい．

(3)　連続する正の奇数の和であって$60$に等しいものをすべて求めよ．

【２】　$a>0$とする．$t$を媒介変数とし，

$x=a\cos 2t\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}\sin 2t\text{（}0\leqq t<\pi \text{）}$

で表される曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$を$x\text{，}y$の式で表せ．

(2)　直線$l\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}$を軸とし，曲線$C$を$l$の周りに$1$回転させて出来る立体の体積を求めよ．