2018　東京大学　前期MathJax

【１】　座標平面上に放物線$C$を

$y=x^2-3x+4$

で定め，領域$D$を

$y\geqq x^2-3x+4$

で定める．原点をとおる$2$直線$l\text{，}m$は$C$に接するものとする．

(1)　放物線$C$上を動く点$\mathrm{A}$と直線$l\text{，}m$の距離をそれぞれ$L\text{，}M$とする．$\sqrt{L}+\sqrt{M}$が最小値をとるときの点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　次の条件を満たす点$\mathrm{P}(p,q)$の動きうる範囲を求め，座標平面上に図示せよ．

条件：領域$D$のすべての点$(x,y)$に対し不等式$px+qy\leqq 0$がなりたつ．

【２】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$を

$a_n={\displaystyle \frac{{}_{2n}C_n}{n!}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$a_7$と$1$の大小を調べよ．

(2)　$n\geqq 2$とする．${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}<1$をみたす$n$の範囲を求めよ．

(3)　$a_n$が整数となる$n\geqq 1$をすべて求めよ．

【３】　$a>0$とし，

$f(x)=x^3-3a^{2}x$

とおく．

(1)　$x\geqq 1$で$f(x)$が単調に増加するための，$a$についての条件を求めよ．

(2)　次の$2$条件をみたす点$(a,b)$の動き得る範囲を求め，座標平面上に図示せよ．

条件１：方程式$f(x)=b$は相異なる$3$実数解をもつ．

条件２：さらに，方程式$f(x)=b$の解を$\alpha <\beta <\gamma$とすると$\beta >1$である．

【４】　放物線$y=x^2$のうち$-1\leqq x\leqq 1$をみたす部分を$C$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,0)$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

をみたす点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動き，点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=2\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}$

をみたす点$\mathrm{S}$が動く領域を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

【１】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sin x}}+\cos x\text{（}0<x<\pi \text{）}$

の増減表をつくり，$x\to +0\text{，}x\to \pi -0$のときの極限を調べよ．

【２】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$を

$a_n={\displaystyle \frac{{}_{2n+1}C_n}{n!}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$n\geqq 2$とする．${\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}$を既約分数${\displaystyle \frac{q_n}{p_n}}$として表したときの分母$p_n\geqq 1$と分子$q_n$を求めよ．

(2)　$a_n$が整数となる$n\geqq 1$をすべて求めよ．

【３】　放物線$y=x^2$のうち$-1\leqq x\leqq 1$をみたす部分を$C$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,0)$を考える．$k>0$を実数とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動き，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{1}{k}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}+k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

をみたす点が動く領域の面積を$S(k)$とする．

　$S(k)$および$\underset{k\to +0}{\lim }S(k)\text{，}\underset{k\to \infty }{\lim }S(k)$を求めよ．

【４】　$a>0$とし，

$f(x)=x^3-3a^{2}x$

とおく．次の$2$条件をみたす点$(a,b)$の動き得る範囲を求め，座標平面上に図示せよ．

条件１：方程式$f(x)=b$は相異なる$3$実数解をもつ．

条件２：さらに，方程式$f(x)=b$の解を$\alpha <\beta <\gamma$とすると$\beta >1$である．

【５】　複素数平面上の原点を中心とする半径$1$の円を$C$とする．点$\mathrm{P}(z)$は$C$上にあり，点$\mathrm{A}(1)$とは異なるとする．点$\mathrm{P}$における円$C$の接線に関して，点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}(u)$とする．$w={\displaystyle \frac{1}{1-u}}$とおき，$w$と共役な複素数を$\bar{w}$で表す．

(1)　$u$と${\displaystyle \frac{\bar{w}}{w}}$を$z$についての整式として表し，絶対値の商${\displaystyle \frac{|w+\bar{w}-1|}{\left|w\right|}}$を求めよ．

(2)　$C$のうち実部が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以下の複素数で表される部分を$C^{\prime }$とする．点$\mathrm{P}(z)$が$C^{\prime }$上を動くときの点$\mathrm{R}(w)$の軌跡を求めよ．

【６】　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)$を考える．

　${\displaystyle \frac{1}{2}}<r<1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$上を動くときに点$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の球（内部を含む）が通過する部分を，それぞれ$V_1\text{，}{V}_2\text{，}{V}_3$とする．

(1)　平面$y=t$が$V_1\text{，}{V}_3$双方と共有点をもつような$t$の範囲を与えよ．さらに，この範囲の$t$に対し，平面$y=t$と$V_1$の共通部分および，$y=t$と$V_3$の共通部分を同一平面上に図示せよ．

(2)　$V_1$と$V_3$の共通部分が$V_2$に含まれるための$r$についての条件を求めよ．

(3)　$r$は(2)の条件をみたすとする．$V_1$の体積を$S$とし，$V_1$と$V_2$の共通部分の体積を$T$とする．$V_1\text{，}{V}_2\text{，}{V}_3$を合わせて得られる立体$V$の体積を$S$と$T$を用いて表せ．

(4)　ひきつづき$r$は(2)の条件をみたすとする．$S$と$T$を求め，$V$の体積を決定せよ．