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2018-10265-0101
2018 東京農工大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 x は 0 <x<1 を満たす実数とする. ▵OAB において,
辺 OA を x2 : (1- x 2 ) に内分する点を C ,
辺 OB を ( 1-x) :x に内分する点を D ,
線分 AD と線分 BC の交点を P
とする. OA→ =a→ , OB→ =b → とするとき,次の問いに答えよ.
[1] OP→ を x と a→ , b→ を用いて表せ.
[2] 辺 AB の中点を M とする.点 P が線分 OM 上にあるときの x の値を α とする. α を求めよ.また,そのときの OP :PM を求めよ.
[3] OA=6⁢ OB ,∠ AOP=∠BOP であるときの x の値を β とする. β を求めよ.
[4] OA=2 , OB=1 , cos⁡∠ AOB=- 1 4 であり, OP→ と AB → が垂直であるときの x の値を γ とする. γ を求めよ.
2018-10265-0102
【2】 次の条件によって定まる数列 { an } がある.
a1= 7 ,a n+1 = 12 ⁢ an+ 12 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
また,次の条件によって定まる関数 fn⁡ (x ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) がある.
f1 ⁡(x )= a1⁢ x ,
fn+ 1⁡ (x )= an+1 ⁢x+ 12 ⁢ ∫01 fn ⁡(t )⁢d t ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
このとき,次の問いに答えよ.
[1] 数列 { an } の一般項を求めよ.
[2] 次の式で表される数列 { bn } の一般項を求めよ.
bn= 2n⁢ ∫ 01 fn⁡ (t) ⁢dt ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
[3] fn⁡ (x) =0 を満たす x を n の式で表せ.
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【3】 関数 f ⁡(x ) を
f ⁡(x )=x +4⁢ x2+1
で定める.次の問いに答えよ.
[1] f ⁡(x ) の最小値を求めよ.また,そのときの x の値を求めよ.
[2] xy 平面の曲線 y=f ⁡(x ) を C とする.
(1) C 上の点 ( p,f⁡ (p ) ) における接線の方程式を求めよ.
(2) q を実数とする. C の接線のうち点 ( 0,q ) を通るものの本数を求めよ.
[3] 次の等式が成り立つように,定数 a の値を定めよ.
limx →∞ {f ⁡(x )-a ⁢x} =0
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【4】 次の問いに答えよ.
[1](1) 不定積分 ∫sin⁡ x⁢sin⁡ 2⁢x⁢ dx を求めよ.
(2) n が自然数のとき,不定積分 ∫x⁢sin ⁡n⁢x ⁢dx を求めよ.
[2] a ,b を実数とする.定積分 ∫0π ( x+a⁢ sin⁡x+ b⁢sin⁡ 2⁢x) 2⁢d x の最小値を求めよ.また,そのときの a , b の値を求めよ.