2018　東京農工大学　前期MathJax

2018　東京農工大学　前期

易□　並□　難□

【１】　 $x$ は $0 < x < 1$ を満たす実数とする． $▵ OAB$ において，

辺 $OA$ を $\frac{x}{2} : (1 - \frac{x}{2})$ に内分する点を $C ，$

辺 $OB$ を $(1 - x) : x$ に内分する点を $D ，$

線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$

とする． $\vec{OA} = \vec{a} ， \vec{OB} = \vec{b}$ とするとき，次の問いに答えよ．

[1]　 $\vec{OP}$ を $x$ と $\vec{a} ， \vec{b}$ を用いて表せ．

[2]　辺 $AB$ の中点を $M$ とする．点 $P$ が線分 $OM$ 上にあるときの $x$ の値を $α$ とする． $α$ を求めよ．また，そのときの $OP : PM$ を求めよ．

[3]　 $OA = 6 OB ， ∠ AOP = ∠ BOP$ であるときの $x$ の値を $β$ とする． $β$ を求めよ．

[4]　 $OA = 2 ， OB = 1 ， \cos ∠ AOB = - \frac{1}{4}$ であり， $\vec{OP}$ と $\vec{AB}$ が垂直であるときの $x$ の値を $γ$ とする． $γ$ を求めよ．

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【２】　次の条件によって定まる数列 ${a_{n}}$ がある．

$a_{1} = 7 ， a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

また，次の条件によって定まる関数 $f_{n} (x) （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ がある．

$f_{1} (x) = a_{1} x ，$

$f_{n + 1} (x) = a_{n + 1} x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

このとき，次の問いに答えよ．

[1]　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

[2]　次の式で表される数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

$b_{n} = 2^{n} \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

[3]　 $f_{n} (x) = 0$ を満たす $x$ を $n$ の式で表せ．

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【３】　関数 $f (x)$ を

$f (x) = x + \sqrt{4 x^{2} + 1}$

で定める．次の問いに答えよ．

[1]　 $f (x)$ の最小値を求めよ．また，そのときの $x$ の値を求めよ．

[2]　 $x y$ 平面の曲線 $y = f (x)$ を $C$ とする．

(1)　 $C$ 上の点 $(p, f (p))$ における接線の方程式を求めよ．

(2)　 $q$ を実数とする． $C$ の接線のうち点 $(0, q)$ を通るものの本数を求めよ．

[3]　次の等式が成り立つように，定数 $a$ の値を定めよ．

$\lim_{x \to \infty} {f (x) - a x} = 0$

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【４】　次の問いに答えよ．

[1](1)　不定積分 $\int \sin x \sin 2 x d x$ を求めよ．

(2)　 $n$ が自然数のとき，不定積分 $\int x \sin n x d x$ を求めよ．

[2]　 $a ， b$ を実数とする．定積分 $\int_{0}^{π} {(x + a \sin x + b \sin 2 x)}^{2} d x$ の最小値を求めよ．また，そのときの $a ， b$ の値を求めよ．