2018　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,-1)\text{，}\mathrm{B}(6,5,4)\text{，}\mathrm{C}(5,1,3)$がある．次の問いに答えよ．

[1]　点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

[2]　[1]で求めた点$\mathrm{H}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な平面上に$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$があり，$▵\mathrm{CDE}$は$\mathrm{H}$を重心とする正三角形である．$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{OD}>\mathrm{OE}$とする．

[3]　[2]で求めた$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$と点$\mathrm{B}$の定める平面$\mathrm{BDE}$を$\alpha$とし，点$\mathrm{A}$から平面$\alpha$に下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とする．点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=x+{\displaystyle {\int }_1^x}\log tdx\text{（}x>0\text{）}$

で定める．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

[1]　$a>1$のとき，次の不等式を証明せよ．

$f(a)-f(a-1)<1+\log a$

[2]　$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

$e{\left({\displaystyle \frac{n}{e}}\right)}^n<n!$