2018　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=x+2\cos x$

を考えるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　区間$0\leqq x\leqq \pi$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$をそれぞれ求めよ．

(ⅲ)　不等式$0\leqq x\leqq \pi$の表す座標平面上の領域において，曲線$y=f(x)\text{，}y$軸および直線$y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれる図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

$I={\displaystyle \int x\cos xdx}$

(ⅴ)　図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=ax+x{e}^{-x}$を考えるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とし，$a$は定数とする．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$の変曲点$\mathrm{A}$の$x$座標$x_0$を求めよ．さらに，すべての実数$x$に対して，不等式$f^{\prime }(x)>0$が成り立つような定数$a$の条件を求めよ．

以下では，定数$a$は，(ⅱ)で求めた条件をみたすとする．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$の変曲点$\mathrm{A}(x_0,f(x_0))$における接線$l$の方程式を定数$a$を用いて表せ．

(ⅳ)　次の不定積分をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

$I_1={\displaystyle \int }x{e}^{-x}dx\text{，}{I}_2={\displaystyle \int }{x}^2{e}^{-x}dx$

(ⅴ)　曲線$y=f(x)\text{，}y$軸および接線$l$で囲まれる図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　$a=2\sqrt{3}-3\text{，}b=2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$とする．極座標$(r,\theta )$に関する極方程式

$r={\displaystyle \frac{b}{1+a\cos \theta }}$

で表された楕円$E$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　楕円$E$を直交座標$(x,y)$で考える．

(ⅰ-1)　楕円$E$と$y$軸の交点で$y$座標が正である点$\mathrm{N}$の$y$座標$y_0$を求めよ．

(ⅰ-2)楕円$E$と$x$軸の$2$交点を，$x$座標の小さいものから順に，点$\mathrm{L}\text{，}$点$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{L}$の$x$座標$x_1\text{，}$点$\mathrm{R}$の$x$座標$x_2$をそれぞれ求めよ．

以下の問いでは，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．このとき，円$C$の外部にある点$\mathrm{P}$から円$C$に$2$本の異なる接線を引いてその接点を${\mathrm{T}}_1\text{，}{\mathrm{T}}_2$とするとき，$\angle {\mathrm{T}}_1{\mathrm{PT}}_2$を点$\mathrm{P}$から円$C$を見込む角という．（右図を参照）ただし，$0<\angle {\mathrm{T}}_1{\mathrm{PT}}_2<\pi$とする．

(ⅱ)　点$\mathrm{R}$から円$C$を見込む角$\alpha$を求めよ．

(ⅲ)　楕円$E$上の点から円$C$を見込む角の最小値を$\beta$とするとき，$\cos \beta$の値を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{N}$から円$C$を見込む角$\gamma$が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$より小さいことを証明せよ．

【４】　$a\text{，}b$を定数とし，整式$f_1(x)$を$f_1(x)=ax+b$と定義する．次に，整式$(x+1)f_1(x)$を$2x^2-3x-2$で割った余りを$f_2(x)$と定義する．さらに，整式$(x+1)f_2(x)$を$2x^2-3x-2$で割った余りを$f_3(x)$と定義する．以下，このようにして，各自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，整式$(x+1)f_n(x)$を$2x^2-3x-2$で割った余りを$f_{n+1}(x)$と定義する．このとき，整式$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に対して，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　整式$f_2(x)$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅱ)　各自然数$n\geqq 1$に対して，整式$f_n(x)$を$f_n(x)=a_{n}x+b_n$とおいて，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を定める．ただし，$a_1=a\text{，}{b}_1=b$とする．

(ⅱ-1)　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．また，$b_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．

(ⅱ-2)　$a_{n+2}$を$a_n\text{，}{a}_{n+1}$を用いて表せ．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅳ)　数列$\{a_n\}$が収束するための条件を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅴ)　数列$\{a_n\}$が発散するとき，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$

を求めよ．