2018　電気通信大学　後期MathJax

(ⅰ)　$f(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$を$\cos x$の式で表せ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅳ)　関数$g(x)=\tan (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{（}0<x<\pi \text{）}$に対して，導関数$g^{\prime }(x)$を$\sin x$の式で表せ．

(ⅴ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$上の点$(e^t,f(e^t))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅳ)　原点を通り，曲線$y=f(x)$と接する直線を$l$とする．このとき，接線$l$の方程式と接点の座標を求めよ．

以下では，曲線$y=f(x)$と接線$l\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．

(ⅴ)　$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅵ)　$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(ⅰ)　$\angle \mathrm{AOB}$の余弦$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．

(ⅱ)　上述のように円錐の容器を傾けたとき，水が容器内に残っているための$a$の条件と，そのときの頂点$\mathrm{O}$から測った水面の高さ$h$を求めよ．

ここで，傾けた円錐の容器に対して，空間の座標軸を，点$\mathrm{O}$が原点で，点$\mathrm{B}$が$z$軸上の正の部分に，点$\mathrm{A}$が$yz$平面上の$y>0$の部分にくるようにとる（図３）．また，$a$は(ⅱ)の条件を満たすものとする．

(ⅲ)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(ⅳ)　$0<k<h$のとき，傾けた円錐の平面$z=k$による切り口の曲線を$C_k$とする．点$\mathrm{P}(x,y,k)$が$C_k$上にあるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積を利用して，$x\text{，}y$の満たす関係式を求めよ．

(ⅴ)　平面$z=k$上で$C_k$によって囲まれた部分の面積$S(k)$を求めよ．

(ⅵ)　容器に残っている水の体積$V$を求めよ．

$a_1=2\text{，}pn{a}_{n+1}-(n+2)a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項を$n\text{，}p$を用いて表せ．

(ⅱ)　$p={\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき，$a_n$が最大となる$n$の値をすべて求めよ．

次に，$\theta$を$\pi$の整数倍ではない実数とする．このとき，

$b_1=1\text{，}$

$pn{b}_{n+1}-(n+2)b_n={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{p^{n-1}}}\cos (2n\pi )\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{b_n\}$を考える．

(ⅲ)　$n$によらない実数$A$を用いて，

$\cos (2n\theta )=A\{\sin (2\theta +\theta )-\sin (2n\theta -\theta )\}$

と表すことができる．$A$を$\theta$の式で表せ．

(ⅳ)　数列$\{b_n\}$の一般項を$n\text{，}p\text{，}\theta$を用いて表せ．

(ⅴ)　$p={\displaystyle \frac{8}{7}}\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$b_n$が最大となる$n$の値をすべて求めよ．