2018　一橋大学　前期MathJax

【１】　正の整数$n$の各位の数の和を$S(n)$で表す．たとえば

$S(3)=3\text{，}S(10)=1+0=1\text{，}S(516)=5+1+6=12$

である．

(1)　$n\geqq 10000$のとき，不等式$n>30S(n)+2018$を示せ．

(2)　$n=30S(n)+2018$を満たす$n$を求めよ．

【２】　$-1\leqq t\leqq 1$とし，曲線$y={\displaystyle \frac{x^{2.}-1}{2}}$上の点$(t,{\displaystyle \frac{t^2-1}{2}})$における接線を$l$とする．半円$x^2+y^2=1\text{（}y\leqq 0\text{）}$と$l$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$3$個のさいころを投げる．

(1)　出た目の積が$6$となる確率を求めよ．

(2)　出た目の積が$k$となる確率が${\displaystyle \frac{1}{36}}$であるような$k$をすべて求めよ．

【４】　$p\text{，}q$を正の実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{P}(p,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,q,0)\text{，}\mathrm{R}(0,0,1)$は$\angle \mathrm{PRQ}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たす．四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最大値を求めよ．

【５】　$a$を実数とし，$f(x)=x-x^3\text{，}g(x)=a(x-x^2)$とする．$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$は$0<x<1$の範囲に共有点を持つ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるような$a$の値を求めよ．