2018　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は以下の条件をみたす．

　次の問いに答えよ．

(1)　$b_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4\text{，}{b}_5$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に点$\mathrm{A}(0,2,2)\text{，}$および，中心を点$\mathrm{B}(0,0,1)$とする半径$1$の球面$S$がある．平面$z=0$上の点$\mathrm{P}(a,b,0)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AP}$上の点$\mathrm{Q}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と表すとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AP}$が球面$S$と共有点をもつとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲を$ab$平面上に図示せよ．

【３】　$xy$平面上に放物線$C_1\text{：}y=x^2$と点$\mathrm{P}(p,q)\text{（}q>p^2\text{）}$があり，$\mathrm{P}$を通り傾きが$t$の直線を$l$とする．さらに，$C_1$と$l$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点において，放物線$C_2\text{：}y=-x^2+ax+b$が$l$と接している．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれる領域の面積を求めよ．

(3)　$t$が実数全体を動くとき，(2)で求めた面積の最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{x}{{\cos }^{2}x}}dx$を求めよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数$f(x)$が

$f(x){\cos }^{2}x=\pi -{\displaystyle \frac{x}{\log 2}}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}f(t)dt$

をみたすとき，$f(x)$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に点$\mathrm{A}(2,0,-1)\text{，}$および，中心を点$\mathrm{B}(0,0,1)$とする半径$\sqrt{2}$の球面$S$がある．平面$z=0$上の点$\mathrm{P}(a,b,0)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AP}$上の点$\mathrm{Q}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と表すとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AP}$が球面$S$と共有点をもつとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(3)　球面$S$と平面$x=-1$の共通部分を$T$とする．直線$\mathrm{AP}$が$T$と共有点をもつとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲を$ab$平面上に図示せよ．

【３】　$\alpha$を複素数とする．$z\ne -\alpha$をみたす複素数$z$に対して，$w={\displaystyle \frac{z+2\alpha }{z+\alpha }}$と定める．$|z-1|=1$をみたすようなすべての$z$に対して，$|w-1|=1$が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を求めよ．

(2)　$w=z$をみたす$z$を求めよ．

(3)　$z_0=1+i$とし，$z\ne z_0$かつ$z\ne -\alpha$とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(z_0)\text{，}\mathrm{P}(z)\text{，}\mathrm{Q}(w)$を考える．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{AQ}$が垂直に交わるような点$\mathrm{P}$の全体が表す図形を，複素数平面上に図示せよ．

【４】　$c$を$5$で割り切れない$2$以上の整数とする．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は以下の条件をみたす．

　次の問いに答えよ．

(1)　$c=3$のとき，$a_n\text{，}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$0<b_n<5$を示せ．

(3)　$c=5l+4$（$l$は$0$以上の整数）のとき，$a_n\text{，}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【５】　$xy$平面上に双曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$がある．$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})\text{（}t>0\text{）}$における$C_1$の接線を$l$とする．放物線$C_2\text{：}y=x^2+ax+b$（$a\text{，}b$は実数）は点$\mathrm{P}$を通り，$C_1$と第$3$象限において共有点をただ$1$つもつとする．$C_2$と$l$で囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(3)　$S$を$t$の式で表せ．

(4)　$t$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値を求めよ．