2018　新潟大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$2{\sin }^2\theta -3\sin \theta -2=0$をみたす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　不等式$9^{\mathrm{x.}}-3^x<6$をみたす$x$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　不等式${({\log }_{10}x)}^2\geqq {\log }_{10}{x}^2+8$をみたす$x$の組の範囲を求めよ．

【２】　$\mathrm{OA}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$の$▵\mathrm{OAB}$の外接円の中心を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$をみたす実数$s\text{，}t$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{O}$を座標平面上の原点にとり，点$\mathrm{A}$の座標を$(0,\sqrt{7})$とする．このとき点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．ただし，点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．

【３】　袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$5$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉$2$個が入っている．まず，袋$\mathrm{A}$から$3$個の玉を同時に取り出し，玉の色は確認せず，そのまま袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜて，袋$\mathrm{B}$から$2$個の玉を同時に取り出す．次の問いに答えよ．

(1)　袋$\mathrm{A}$から取り出された$3$個の玉が，赤玉$1$個と白玉$2$個である確率，白玉$3$個である確率を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{B}$から取り出された玉が$2$個とも白玉である確率を求めよ．

(3)　袋$\mathrm{B}$から取り出された玉が$2$個とも白玉であったとき，袋$\mathrm{B}$に白玉が残っている条件付き確率を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　関数$y=|x^2-a^2|$のグラフの概形をかけ．

(2)　定積分$S={\displaystyle {\int }_0^2}|x^2-a^2|dx$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{P}(t,0)$がある．ただし，$t$は正の実数である．また，線分$\mathrm{OA}$上の点および線分$\mathrm{BC}$上の点を通る直線$l\text{：}y=ax+b$がある．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$が正方形$\mathrm{OABC}$の面積を$2$等分するとき，$a$を$b$を用いて表せ．

(2)　直線$l$が正方形$\mathrm{OABC}$の面積を$2$等分し，さらに直角三角形$\mathrm{OAP}$の面積を$2$等分するとき，$b$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t\to +0$および$t\to \infty$のときの(2)で求めた$b$の極限値をそれぞれ求めよ．

【４】　座標平面上の$x>0$の領域において，$2$つの曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$と$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{k}{x}}$を考える．ここで，$k$は正の実数である．曲線$C_1$と曲線$C_2$はただ$1$つの交点をもつので，その$x$座標を$a$とする．$a$が$1<a<e$の範囲にあるとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．また，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてもよい．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C_1\text{，}$曲線$C_2\text{，}$直線$x=1$および直線$x=e$によって囲まれる図形の面積$S$を$k$を用いて表せ．

(3)　面積$S$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-x+1}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(-x)}^{3k}(1+x)$

と定める．ただし，${(-x)}^{3k}$は$k=0$のとき$1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f_n(x)={(-1)}^{n+1}{\displaystyle \frac{x^{3n+3}}{x^2-x+1}}$を示せ．

(2)　$|{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)dx|\leqq {\displaystyle \frac{4}{3(3n+4)}}$を示せ．

(3)　無限級数

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{(-1)}^k({\displaystyle \frac{1}{3k+1}}+{\displaystyle \frac{1}{3k+2}})$

の和を求めよ．