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2018-10321-0201
2018 新潟大学 推薦理学部数学プログラム
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) x+y+ z=0 ,x⁢ y⁢z= 1 のとき,次の式の値を求めよ.
x3 +y3 +z3
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(2) 次の式を計算せよ.ただし, i は虚数単位とする.
i+2⁢ i2+ 3⁢i3 - 1i- 2i 2- 3 i3
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(3) 次の関数の最大値と最小値,およびそのときの x の値を求めよ.
y=3⁢ 3⁢ sin2⁡ x+3⁢ cos2⁡ x+2⁢ sin⁡x⁢ cos⁡x ( 0≦ x<2⁢ π )
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(4) 次の式の値を求めよ.
100log 9⁡27
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【2】 次の条件によって定められる数列 { an }, { bn } がある.
a1= 2 ,b 1=1 , an+ 1=3 ⁢bn , bn +1= -2⁢a n+5⁢ bn
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 数列 { cn }, { dn } を
cn =an -bn , dn =-2⁢ an+3 ⁢bn
により定める.数列 { cn }, { bn } の一般項を求めよ.
(2) 数列 { an }, { bn } の一般項を求めよ.
(3) 極限 limn→ ∞ anb n を求めよ.
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【3】 四面体 OABC において,辺 OA の中点を P , 辺 BC を 1 :2 に内分する点を Q , 辺 OB を 2 :3 に内分する点を R , 辺 CA を t :1-t に内分する点を S とする.ここで 0 <t<1 である. OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) OQ→ ,OS → を a→ , b→ , c→ および t を用いて表せ.
(2) 直線 PQ と直線 RS が交わるような t の値を求めよ.
(3) 直線 PQ と直線 RS が交わるときの交点を T とする. ▵PST と ▵ QRT の面積の比を求めよ.
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【4】 曲線 y =3-2 ⁢x 上の点 P ( t,3- 2⁢t ) (t< 32 ) における接線を l とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) l の方程式を t を用いて表せ.
(2) l と x 軸, y 軸によって囲まれる三角形の面積 S を t を用いて表せ.
(3) S の最小値と,そのときの点 P の座標を求めよ.